安徽省智学大联考皖中名校联盟（合肥市第八中学）2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析.docx

2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷

一、单选题

1．若复数，则（???）

A．1 B．2 C． D．5

2．为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（???）

A．，则

B．与所成角均为，则

C．，则直线到的距离相等

D．，则

3．“”是“”的（???）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量，则向量在上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

5．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的周长为（???）

A．10 B．8 C．14 D．

6．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（???）

??

A． B． C．1 D．2

7．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（???）

??

A． B． C． D．20

8．已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

10．下列关于复数的说法中，正确的是（???）

A．若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

B．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等

C．若，则为实数

D．若，则

11．如图，在直三棱柱中，是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（???）

A．三棱锥的体积为

B．直三棱柱的外接球半径为

C．的值可以为

D．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球

三、填空题

12．若复数满足(是虚数单位)，则的虚部是.

13．如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高．

14．如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是.

四、解答题

15．如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动，

(1)求点坐标；

(2)判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．

16．梯形中，，，．

(1)若，以为基底表示；

(2)将梯形绕所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

17．在中，分别为角的对边，向量，，且.

(1)求角；

(2)若角的平分线交于点，，，求的周长．

18．骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．

??

(1)若，求文化介绍区域的面积；

(2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值．

19．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．

(1)求证：面；

(2)求证：面；

(3)当平面时，面与交于，求的值．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

A

C

D

C

B

BC

ACD

题号

11

答案

AD

1．A

根据复数的除法运算化简得出，进而求解，计算即可得出答案.

【详解】由已知可得，

所以，

则.

故选：A．

2．B

ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行.

【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误；

对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确；

对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误；

对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误．

故选：B．

3．C

根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案.

【详解】因为，.

所以.

综上所述，“”是“”的充分必要条件．

故选：C．

4．A

利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果.

【详解】由，得，

由，得，

则，

因此在上的投影向量为．

故选：A．

5．C

在直观图中求出，画出原图形，由斜二测法定义得到各边长，求出周长

【详解】在直观图中可以得到，，

在直观图中，由勾股定理得，

画出原图形，则，

在原图形中，，由勾股定理得，

其中，

所以的周长为

故选：C．

6．D

设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案.

【详解