高中数学北师大版讲义(必修二)第15讲2.5从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类(学生版+解析).docxVIP

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2.5从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类

课程标准

学习目标

(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．

(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

(3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．

(4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．

1.理解向量数量积的定义及投影向量；

2.掌握向量积的运算律和运算性质.

3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式；

4..掌握平面向量的夹角公式；

5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.

知识点01向量的数量积

1.定义

已知两个非零向量a与b，|a||b|cosθ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0．

2.几何意义

b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积．

3.性质

(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.

(2)若a，b是非零向量，则a·b＝0?a⊥b.

(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·

(4)cos〈a，b〉＝a·bab(|

(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．

4.运算律

交换律：a·b＝b·a

结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c

注：关于向量数量积应注意的问题

(1)若向量a与b的夹角为θ，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向；θ＝π2时，a⊥b

(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．

(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．

(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．

【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（）

A． B．

C． D．1

【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（）

A．4 B．3 C．2 D．0

【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝________，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝________.

【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（）

A．8 B．10 C．12 D．16.

知识点02平面向量数量积的坐标表示

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1

注：对于a·b＝|a|·|b|·cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负．

【即学即练6】已知，，则=___________.

【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()

A．12B．0C．－3 D．－11

【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________.

【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝()

A．6B．5C．4 D．3

知识点03两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1

注：这个结论与a∥b?x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量a，b的起点均为原点O，a的终点为A，b的终点为B，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即y1x1＝y2x2，得x2y1－x1y2＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若a⊥b，则cosθ＝0(θ为向量a与b的夹角)，a·b＝0，即x

【即学即练10】已知向量，且，则_______.

【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（）

A． B．1 C．2 D．1或2

【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，