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定积分的概念存在条件与性质

1.1定积分问题举例

yyf(x)

一、两个实例

1．曲边梯形的面积

oabx

设yf(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，求以曲线

yf(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A.

计算步骤如下:

（1）分割

任取分点：ax0x1x2xi1xixn1xnb，

把区间[a,b]分为n个小区间：[xi1,xi](i1,2,,n),

[xi1,xi]的长度记为xixixi1(i1,2,,n),

yyf(x)

f(i)



ax0x1x2xi1ixixn1xnbx

o

[x,x],

ii1i01求和

Aif(ξi)xi(i1,2,,n).

02l四个步骤可以概括为一句话：

（2）近似“分割取近似，求和取极限.”

n

Af(i)xi,

i1

03取极限

n

设

dmaxxi,Alimf(i)xi.

1in

d0i1

（1）分割

变速直线运动的路程

（2）近似

n求和取极限

Sv(i)ti.

i1

n

dmaxti,Slimv(ξi)ti.

d0

1ini1

ax0x1x2xi1xixn1xnb,

i[xi1,xi],

n定积分的定义

作和式1.2其中

f(i)xi,xixixi1,

i1

令dmaxxi,

1in

积分和

积分上限

n

b

f(x)dxlimf(ξi)xi.

ad0

i1

被被积

积分下限积积分

函表变[a,b]积分区间

数达量

式

（3）定积分的定值与积积分分变定量无义关，的即剖析

b2.bb

f(x)dxf(t)dtf(u)du

aaa

三、定积分的几何b意义

Af(x)dx

a

y

2．若f(x)C[a,b]，且f(x)0，

ab

ox