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第16讲拓展一:立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题
题型01点到平面距离(定值)
1.(24-25高二下·浙江·开学考试)在直三棱柱中,,,P是棱的中点,则C到平面的距离为(???)
A. B. C. D.
2.(24-25高二上·内蒙古包头·期末)如图,棱长为1的正方体中,则点到平面的距离是(???)
A. B. C. D.
3.(24-25高二上·北京东城·期末)如图,在棱长为2的正方体中,M为棱的中点,则点C到平面的距离为(???)
A.5 B. C.1 D.
4.(24-25高二上·安徽·期末)已知长方体中,,直线与平面所成角的正切值为,则点D到平面的距离为(???)
A. B. C. D.
5.(2025·辽宁·模拟预测)在直三棱柱中,,,,为棱的中点,则点到平面的距离为(????)
A. B. C. D.2
6.(2025高三·全国·专题练习)如图所示,正三棱柱的底面边长是2,侧棱长是,点D是线段的中点.求点C到平面的距离.
题型02点到平面距离(最值或范围)
1.(24-25高二上·河南驻马店·期末)如图,在棱长为的正方体中,点为平面内一动点,且,设点到直线的距离为,则的取值范围是.
2.(23-24高三上·四川成都·期中)已知的所有顶点都在球的表面上,,球的体积为,若动点在球的表面上,则点到平面的距离的最大值为.
3.(2024高三·全国)点P在所在平面外,,,,则点A到平面PBC的距离的最大值是.
4.(2024·江苏扬州·模拟预测)在三棱锥中,平面为三棱锥外接球球面上一动点,则点到平面的距离的最大值为.
5.(23-24高三上·江苏南京·开学考试)在三棱锥中,和都是边长为的正三角形,.若为三棱锥外接球上的动点,则点到平面距离的最大值为.
题型03求异面直线所成角(定值)
1.(2025·江西·一模)已知正四棱柱的底面边长为2,沿该棱柱的表面从点经过棱或棱上的一点到达点的最短距离为,则异面直线AE与BD所成角的余弦值为.
2.(24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习)如图,在直三棱柱中,,,D,E,F分别是棱,BC,的中点,则异面直线AD与EF所成角的余弦值为.
3.(24-25高二上·上海·阶段练习)空间四边形中,,且异面直线与所成的角为,、分别为和的中点,则异面直线和所成角的大小是.
4.(24-25高二上·广西南宁·阶段练习)长方体中,,.点,分别是,的中点,记面为,直线,则直线与所成角的余弦值为.
5.(2024高三·全国·专题练习)已知三棱台的上、下底面均为正三角形,且平面平面,,为的中点,则直线与夹角的余弦值为.
6.(24-25高二上·广东广州·期中)在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为.
题型04异面直线所成角(最值或范围)
1.(2025·上海·模拟预测)已知P是一个圆锥的顶点,是母线,,该圆锥的底面半径是1.B、C分别在圆锥的底面上,则异面直线与所成角的最小值为.
2.(24-25高二上·北京·期中)在正方体中,直线是底面所在平面内的一条动直线,记直线与直线所成的角为,则的最小值是.
3.(24-25高二上·上海·期中)空间中存在三条不同的直线,直线与直线所成角为,直线与直线所成角为,直线与直线所成角的取值范围为.(用弧度制表示).
4.(23-24高三上·江苏常州·期末)已知二面角为,内一条直线与所成角为,内一条直线与所成角为,则直线与直线所成角的余弦值是.
5.(23-24高二上·福建泉州·期中)在正方体中,是棱的中点,是底面内(包括边界)的一个动点,若平面,则异面直线与所成角的取值范围是.
题型05根据异面直线所成角求参数
1.(24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中)在四面体中,平面,平面,,异面直线与的夹角,则的最大值为.
2.(24-25高二上·上海松江·阶段练习)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,若四边形对角线,对角线AC与BD所成的角为,则FH=.
3.(2024高二下·重庆·竞赛)已知四面体ABCD满足,且异面直线AD与BC所成的角为,则四面体ABCD的外接球的体积为.
4.(2024高一下·全国·专题练习)正方体的棱长为4,点P是棱上一点(不包括端点),若异面直线与所成角的余弦值为,则.
5.(2023·河南郑州·模拟预测)在正四
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