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2025/5/24《集合论与图论》第7讲1第7讲关系幂运算与关系闭包

北京大学内容提要关系幂(power)运算关系闭包(closure)

关系的幂运算2025/5/24《集合论与图论》第7讲2幂指数的化简03指数律02n次幂的定义01

关系的n次幂关系的n次幂(nthpower):设R?A?A,n?N,则(1)R0=IA;(2)Rn+1=Rn○R,(n?1).Rn表示的关系,是R的关系图中长度为n的有向路径的起点与终点的关系.12nn-1

关系幂运算(举例)2025/5/24《集合论与图论》第7讲4例:设A={a,b,c},R?A?A,R={a,b,b,a,a,c},求R的各次幂.解:bacbacG(R)G(R0)

关系幂运算(举例,续)2025/5/24《集合论与图论》第7讲5解(续):R0=IA,R1=R0○R=R={a,b,b,a,a,c},R2=R1○R={a,a,b,b,b,c},bacbacG(R)G(R2)

关系幂运算(举例,续2)2025/5/24《集合论与图论》第7讲6解(续):R0=IA,R1=R0○R=R={a,b,b,a,a,c},R2=R1○R={a,a,b,b,b,c},R3=R2○R={a,b,a,b,a,c}=R1,bacbacG(R)G(R3)

关系幂运算(举例,续3)2025/5/24《集合论与图论》第7讲7解(续):R4=R3○R=R1○R=R2,R5=R4○R=R2○R=R3=R1,一般地,R2k+1=R1=R,k=0,1,2,…,R2k=R2,k=1,2,…,.#bacbacG(R)G(R5)bacG(R4)

关系幂运算是否有指数律?2025/5/24《集合论与图论》第7讲8Rm○Rn=Rm+n;(Rm)n=Rmn.指数律:01对一般关系R来说,m,n?N.对满足IA?R且A?domR?ranR的关系R来说,m,n?N,Z,例如R2○R-5=R-3,因为可以定义R-n=(R-1)n=(Rn)-1?说明:对实数R来说,m,n?N,Z,Q,R.02

定理17Rm○Rn=Rm+n;(Rm)n=Rmn.说明:可让m,n?Z,只需IA?domR?ranR(此时IA=R○R-1=R-1○R)并且定义定理17:设R?A?A,m,n?N,则01回忆:(F○G)-1=G-1○F-1(R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)2R-n=(R-1)n=(Rn)-1.02

定理17(证明(1))2025/5/24《集合论与图论》第7讲10(1)Rm○Rn=Rm+n;证明:(1)给定m,对n归纳.n=0时,Rm○Rn=Rm○R0=Rm○IA=Rm=Rm+0.假设Rm○Rn=Rm+n,则Rm○Rn+1=Rm○(Rn○R1)=(Rm○Rn)○R1=Rm+n○R=R(m+n)+1=Rm+(n+1).(2)同样对n归纳.#

R0,R1,R2,R3,…是否互不相等?R0R1R2R3R4R5R6R7R8R0R1R2R3R4R5=R19=R33=R47=…R6=R20=R34=R48=…R7=R21=R35=R49=…R8=R22=R36=…R15R9R10R11R14R16R17

定理162025/5/24《集合论与图论》第7讲12定理16:设|A|=n,R?A?A,则?s,t?N,并且,使得Rs=Rt.证明:P(A?A)对幂运算是封闭的,即?R,R?P(A?A)?Rk?P(A?A),(k?N).|P(A?A)|=,在R0,R1,R2,…,这个集合中,必有两个是相同的.所以?s,t?N,并且,使得Rs=Rt.#

鸽巢原理(pigeonholeprinciple)鸽巢原理(pigeonholeprinciple):若把n+1只鸽子装进n只鸽巢,则至少有一只鸽巢装2只以上的鸽子.又名抽屉原则(Dirichletdrawerprinciple),(PeterGustavLejeuneDirichlet,1805~1859)推广形式:若把m件物品装进