2025《矩阵与线性变换在中学的应用探究》10000字.docx

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矩阵与线性变换在中学的应用研究

目录

TOC\o1-3\h\u134441绪论 1

168891.1引言 1

9551.2文献综述 2

14061.3预备知识 3

23246（1）旋转变换 4

31751（2）伸缩变换 4

25104（3）切变变换 4

28902矩阵（线性变换）在中学中的应用 5

51932.1矩阵在求解线性方程组中的应用 5

264182.1.1基本概念 5

289192.1.2线性方程组的高斯-约当消元解法 5

101362.1.3利用矩阵及其初等变换求解线性方程组 6

137192.1.4利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组 6

114952.2矩阵与线性变换在求数列通项公式中的应用 8

286952.3矩阵与线性变换在三角函数中的应用 13

105822.4利用矩阵证明有关平面解析几何的结论 15

257032.5利用矩阵与变换解决平面解析几何中与面积有关的问题 18

287302.6利用伸缩变换解决与圆锥曲线有关的问题 21

3472.7矩阵在求“距离型”最值问题中的应用 23

11544参考文献 24

【摘要】矩阵是最重要的代数研究对象之一，而变换是几何学的重要研究工具，矩阵和线性变换有着紧密的联系，利用矩阵可以更好地研究线性变换.基于高等代数视角对中学数学进行研究，不仅能使其内容得到深化，也使与其有关问题的解决有了新的办法.在教材方面，矩阵与变换以选修课程的形式纳入高中课程体系，为中学数学提供了接触高等代数的机会.矩阵与变换的应用更是借助其变化多端的技巧将数学独特的魅力展示给了学生，促进学生们真正将高中数学知识内化于心.本文论述了在中学数学领域中矩阵与变换的若干应用，并运用高等代数的思想方法探究线性方程组、数列、三角函数、平面解析几何的相关问题.

【关键词】矩阵；线性变换；高中数学

1绪论

1.1引言

1908年，F·克莱因（德国著名的数学家）曾说过：“基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了简单”.[1]事实上，有很多初等数学的内容只能在更高深的理论研究构架内才能深入地了解.教育部《普通高中数学课程标准（2017版2020修订）》在“选修课程”中也有不少高等数学知识，比如微积分、矩阵、三元一次方程组、对称变换等.[2]这些知识渗透着高等数学的深刻思想，常被作为高校自主招生考试的重要内容.

近年来，中学数学考题中高等数学研究的含量在逐步增加.因此，高考试题中出现了大量与高等数学领域联系较密切的高观点试题，主要包含以下三个特点：一是观点高，这指的是上述问题的设计源自高等数学，抓住了连通初、高等数学的关键点，背景深、有创意，反映了高等数学的思维方式和逻辑推理方式；二是落点低，这指的是尽管上述问题的设计是基于高等数学的研究成果，然而其基本处理方法依然源自是高中所学的初等数学内容，这有利于训练学习者思维的抽象性、严谨性，为步入高校学好中级数学做好准备；三是强调对能力的考查，不要求知识点的涵盖面，但是其探究过程以学习者逻辑思维为核心.

高中数学与高等数学这种紧密的联系，对于学生数学知识和思维的拓展具有重要的意义，同时也为大学的自主招生提供了必要的参考.[3]

选修4-2《矩阵与变换》作为选修课程，包含矩阵与变换等内容，《普通高中数学课程课标（2017年版）》指出：高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程、选修课程，可供大学自主招生借鉴的是其中的选修课程.这就要求《矩阵与变换》必须为高中数学教学所重视，然而纵观教学实践，许多中学生学习只为应对考试，部分教师教学时也将重点放在如何应用以及解决相应题目之上，这使学生无法把握知识的实质，于是“选修”成为了“必修”或“不修”.

和“导数及其应用”一样，“矩阵与变换”是大学数学的基础内容之一.将此类知识点置于高中数学教材中，能够更好的帮助学生们领悟高等数学的精神以及基本思想，他们能更好地将高中与大学衔接过渡的数学知识学好.[4]矩阵与变换与高中数学中的部分定理、数学概念有着密切联系，为学生提供了多一种解决数学问题的思路，应用矩阵与变换解决一些问题往往可以事半功倍.学习“矩阵与变换”，对于提高学生的解题能力，知识的迁移、转化能力以及锻炼学生的数学思维有着重要意义.

1.2文献综述

文献[1]分析了若干高中数学课堂教学实例，阐明了在高中数学课堂上渗透高等数学知识的必要性.文献[2]为普通高中课程标准，提出了数学学科核心素养，规定了矩阵与变换在高中数学的作用与地位，文献[3]分析了