高考数学 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合 其他综合类求值或范围综合 （附答案解析）.docxVIP

高考数学

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）

其他综合类求值或范围综合

1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.

(1)若离心率时，求的值．

(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．

(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据离心率公式计算即可；

（2）分三角形三边分别为底讨论即可；

（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.

【详解】（1）由题意得，则，．

（2）当时，双曲线，其中，，

因为为等腰三角形，则

①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；

②当以为底时，，

设，则,联立解得或或，

因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；

（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；

③当以为底时，，设，其中，

则有，解得，即．

综上所述：.

（3）由题知，

当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，

则设直线，

设点，根据延长线交双曲线于点，

根据双曲线对称性知，

联立有，

显然二次项系数，

其中，

①，②，

??，

则，因为在直线上，

则，，

即，即，

将①②代入有，

即

化简得，

所以,代入到,得,所以,

且，解得，又因为，则，

综上知，，．

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.

2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解；

（2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解.

【详解】（1）由题意，从而，

所以椭圆方程为，离心率为；

（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，

从而设，，

联立，化简并整理得，

由题意，即应满足，

所以，

若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，

所以，在直线方程中令，

得，

所以，

此时应满足，即应满足或，

综上所述，满足题意，此时或.

3．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.

【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，

故椭圆方程为：.

(Ⅱ)[方法一]：

设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，

即：，

则：.

直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.

很明显，且，注意到，

，

而

，

故.

从而.

[方法二]【最优解】：几何含义法

①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．

②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．

由题意知直线的斜率存在．．

当时，

．

同理，．所以．

因为，所以．

【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.

4．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；

（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元