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决胜千里之外的高考数学2023年试题及答案
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一、多项选择题(每题2分,共10题)
1.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$,则下列说法正确的是:
A.函数在$(-\infty,+\infty)$上单调递增
B.函数在$(-\infty,0]$上单调递减
C.函数的图像关于y轴对称
D.函数的图像关于x轴对称
2.若复数$z=a+bi$(其中$a,b\inR$)满足$\operatorname{Im}(z)=2\operatorname{Re}(z)$,则$|z|$的取值范围是:
A.$[0,+\infty)$
B.$[2,+\infty)$
C.$[0,2]$
D.$[0,4]$
3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$,则数列的前$n$项和$S_n$等于:
A.$2^n-n-1$
B.$2^n+n-1$
C.$2^n-n$
D.$2^n+n$
4.若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切,则$k$和$b$的关系是:
A.$k^2+b^2=1$
B.$k^2+b^2=-1$
C.$k^2-b^2=1$
D.$k^2-b^2=-1$
5.已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$,则$f(x)$的值域是:
A.$(-\infty,0]$
B.$[0,+\infty)$
C.$(-\infty,+\infty)$
D.$[0,1]$
6.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,且$a_1+a_5=10$,$a_3+a_7=20$,则$a_1$和$d$的值分别是:
A.$a_1=2,d=2$
B.$a_1=4,d=2$
C.$a_1=6,d=2$
D.$a_1=8,d=2$
7.已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$,则$f(x)$的奇偶性是:
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法确定
8.若向量$\vec{a}=(1,2)$,$\vec{b}=(2,3)$,则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值是:
A.5
B.6
C.7
D.8
9.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$,则$f(x)$的极值点为:
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$
10.若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,且$a_1+a_5=10$,$a_3+a_7=20$,则$q$的取值范围是:
A.$q1$
B.$0q1$
C.$q\leq0$
D.$q\geq1$
二、判断题(每题2分,共10题)
1.若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处有极值,则该极值为极大值。()
2.向量$\vec{a}=(1,2)$与向量$\vec{b}=(2,3)$垂直,则$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。()
3.对于任意实数$a$,都有$a^2\geq0$。()
4.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,则$a_n=a_1+(n-1)d$。()
5.函数$f(x)=\sqrt{x}$在定义域内是增函数。()
6.若复数$z=a+bi$(其中$a,b\inR$)满足$|z|=1$,则$z$在单位圆上。()
7.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2+1$,则该数列是等差数列。()
8.若等比数列$\{a_n\}$的公比$q=1$,则该数列是常数列。()
9.若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切,则$k^2+b^2=1$。()
10.若函数$f(x)=\ln(x)$在$x=1$处取得极值,则该极值为极大值。()
三、简答题(每题5分,共4题)
1.简述如何求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的极值。
2.已知向量$\vec{a}=(3,4)$和向量$\vec{b}=(-2,1)$,求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的数量积。
3.设数列$\{a_n\}$是等比数列,若$a_1=2$,$a_3=8$,求该数列的通项公式。
4.已知函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$,求函数在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
四、论述题(每题10分,共2题)
1.论述函数$f(x)=\ln(x)$的单调性、奇偶性和周期性,并说明如何求其在定义域内的极值。
2.论述等差数列和等比数列的性质,包括通项公式、前$n$项和公式以及它们之间的关系。结合具体例子,说明如何求解与等差数列和等比数列相关的问题。
五、单项选择题(每题2分,共10题)
1.若函数$f
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