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2025北京高三二模数学汇编

第二道解答题（第17题）

一、解答题

1．（2025北京东城高三二模）已知函数.

(1)若的最小值为，求的值；

(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围.

条件①：的图象关于和对称；

条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称；

条件③：的最小正周期，且.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

2．（2025北京西城高三二模）如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

3．（2025北京海淀高三二模）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．

(1)求证：平面；

(2)记直线与平面所成角为．若，求的长．

4．（2025北京朝阳高三二模）如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．

(1)求证：侧面为矩形；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

5．（2025北京丰台高三二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．

??

(1)求证：为的中点；

(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．

6．（2025北京昌平高三二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．

(1)求证：；

(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．

条件①：平面；

条件②：．

参考答案

1．(1)

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为，根据三角函数的性质可得最小值，即可求解；

（2）由，即可求解，可得；若选择条件①：由已知可得，，求解函数的对称轴，将和代入可知函数存在且不唯一；若选择条件②：根据单调区间可得，将点代入，可得，根据的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由可知，再根据可知或，结合的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解.

【详解】（1）

，

因为的最小值为，所以，所以；

（2）因为，所以，解得，

所以，

若选择条件①：函数的对称轴为，

所以，所以，，

因为，所以，，

所以，即，

因为，故，且，对应的满足题意，

所以函数存在且不唯一；

若选择条件②：因为在区间上单调，所以，

所以，又，所以，

因为的图象关于点对称，所以，

所以，所以，

所以，解得，因为，所以，即，

所以，此时当时，，

故在上单调减，故符合题设要求.

因为，所以，

所以，所以；

若选择条件③：因为的最小正周期，所以，

所以，又，所以，

因为，所以，

所以或，

所以或，

当时，，因为，所以，此时，

当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以，

所以，因为，所以，

所以，所以.

2．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直得出平面，进而得证结论；

（2）根据选择的条件先证明两两垂直，建系，利用法向量可求答案.

【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，

所以平面．

由分别为中点，得，

所以平面．

又因为平面，

所以平面平面．

（2）选择条件①②：

因为，

所以，则．

所以．

由平面，得．

故两两垂直．

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

，，，．

设平面的法向量为，

则即

令，则．于是．

易知平面的一个法向量．

设平面与平面夹角为，

则．

所以平面与平面夹角的余弦值为．

选择条件①③；

由平面，得．

因为，

所以平面．

所以．故两两垂直．

如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．

选择条件②③；

由平面，得．

因为，

所以平面．

所以．故两两垂直．

又因为，

所以．

如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．

3．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明；

（2）如图，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解.

【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，，

所以平面，又平面，

所以，又，平面，

所以平面.

（2）如图，过点作于点，则，

在中，，所以，得.

过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系，

设，则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，所以，

所以，

解