2025北京高二（上）期末数学汇编：平面解析几何章节综合（人教B版）（解答题）.docx

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2025北京高二（上）期末数学汇编

平面解析几何章节综合（人教B版）（解答题）

一、解答题

1．（2025北京密云高二上期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程．

2．（2025北京密云高二上期末）已知圆．

(1)若直线与圆相切，求切线的方程；

(2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程.

3．（2025北京西城高二上期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若圆与直线交于两点，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值.

4．（2025北京西城高二上期末）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

5．（2025北京西城高二上期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.

(1)求椭圆的短轴长和离心率；

(2)若线段的中点为，求点坐标.

6．（2025北京怀柔高二上期末）已知圆：，直线：.

(1)求过圆心且与直线垂直的直线方程；

(2)直线与圆交于，两点，求的面积.

7．（2025北京怀柔高二上期末）已知抛物线：的焦点为，且经过点.

(1)求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程；

(2)抛物线上一点，若，求点的坐标；

(3)直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值.

8．（2025北京平谷高二上期末）已知点和椭圆，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，，离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），直线交轴于点，直线交直线于点，证明：直线经过右顶点.

9．（2025北京平谷高二上期末）已知直线与圆相交于、两点.

(1)求线段的长；

(2)求线段的垂直平分线方程.

10．（2025北京昌平高二上期末）已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由．

11．（2025北京昌平高二上期末）已知圆.

(1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；

(2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由.

12．（2025北京101中高二上期末）设曲线，对曲线W进行如下变换：将W上的任意一点沿着向量平移，得到点，称该变换为变换，得到的曲线记为.

(1)若曲线对W进行变换，直接写出曲线的方程；

(2)若曲线经过变换后得到的曲线关于原点对称.

①直接写出的值和的离心率；

②已知点，过曲线的右焦点M作直线l与曲线交于P，Q两点．

对于下列两个问题，选做（i）满分是6分，选做（ii）满分是8分．若选择两个问题作答，则按选（i）的解答计分．

（i）记，的面积分别为，，若，求直线l的斜率；

（ii）直线，分别与直线交于D，E两点，若，求直线l的斜率．

13．（2025北京101中高二上期末）已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为．

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线与圆相切，求的值；

(3)若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．

14．（2025北京昌平高二上期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)设为的中点，求直线的方程；

(2)求的面积．

15．（2025北京怀柔高二上期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

16．（2025北京大兴高二上期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.

(1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；

(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.

17．（2025北京石景山高二上期末）在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程.

18．（2025北京北师大附中高二上期末）已知椭圆：经过点，且.

(1)求的方程；

(2)设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点.是否存在点，使得恒成立？若存在，求出