多元函数的极限与连续.ppt

例3设求证：证故总有要证第22页，共43页，星期日，2025年，2月5日例4设求证：证故总有要证第23页，共43页，星期日，2025年，2月5日?若当点趋于不同值或有的极限不存在，解设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例5讨论函数函数第24页，共43页，星期日，2025年，2月5日例6.讨论是否存在？解：所以极限不存在.第25页，共43页，星期日，2025年，2月5日?若当点趋于不同值或有的极限不存在，解设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例5讨论函数函数第26页，共43页，星期日，2025年，2月5日例6.讨论是否存在？解：所以极限不存在.第27页，共43页，星期日，2025年，2月5日求多元函数极限的常用方法：1.利用函数极限的运算性质；2.利用不等式缩放或使用夹逼定理；3.利用变量替换化简或化为已知极限，对含有三角函数或幂指函数的二重极限可考虑它是否能通过变形或变量代换化为一元函数中的重要极限；4.利用初等变形，如分母有理化、对指数函数取对数等.第28页，共43页，星期日，2025年，2月5日例7.计算解：例8.求解：第29页，共43页，星期日，2025年，2月5日例9.计算解：所以故第30页，共43页，星期日，2025年，2月5日例10.求解：由于故第31页，共43页，星期日，2025年，2月5日Dept.Math.Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件关于多元函数的极限与连续第1页，共43页，星期日，2025年，2月5日§10.1多元函数的极限与连续10.1.1多元函数的概念内容小结与作业10.1.2多元函数的极限与连续第2页，共43页，星期日，2025年，2月5日1.点集的基本知识10.1.1多元函数的概念定义10.1.1设x0是空间?n中的一点,?0,称?n中的点集为点x0的?邻域.其中点x0称为邻域的中心,?为半径.即点x0的?邻域是?n中距离x0不超过?的点的集合.点x0的去心?邻域记为说明：若不需要强调邻域半径?,则用和表示点x0的邻域和去心邻域.第3页，共43页，星期日，2025年，2月5日例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)经常用点P0表示点x0,点P表示点x.(方邻域)。方邻域与圆邻域可以互相包含.第4页，共43页，星期日，2025年，2月5日设有点集E及一点P:?若存在点P的某邻域U(P)?E,?若存在点P的某邻域U(P)∩E=?,?若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.第5页，共43页，星期日，2025年，2月5日D?若点集E的点都是内点，则称E为开集；?若点集E??E,则称E为闭集；?若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,?开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;?连通的开集称为开区域,简称区域;。?E的边界点的全体称为E的边界,记作?E;。第6页，共43页，星期日，2025年，2月5日例如，在平面上开区域闭区域????第7页，共43页，星期日，2025年，2月5日?整个平面是最大的开区域,?点集是开集，也是最大的闭区域；但非区域.o?对区域D,若存在正数K,使一切点P?D与某定点A的距离?AP??K,则称D为有界域,否则称为无界域.例如是有界闭区域;是无界开区域.第8页，共43页，星期日，2025年，2月5日引例:?圆柱体的体积?定量理想气体的压强?