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专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

特点

等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；

②如图2，如果BA＝BC，那么1/2AC＝ABcos∠A；

③如图3，如果CA＝CB，那么1/2AB＝ACcos∠A．

图1 图2图3

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

结论

等腰三角形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案．

【详解】∵EF是AC的垂直平分线，

∴点A与点C关于EF对称．

连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．

∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，

∴．

∵，BC＝4，

∴．

∵MA＝MC，

∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键．

2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；

【详解】解：∵是的中垂线，

∴，

∴为等腰三角形，故①正确；

∵是等边三角形，

∴，

∵DE⊥AB，FG⊥DE

∴，

∴，

∴△CFG为等边三角形，故②正确；

∵，

若△FDC为等腰三角形，则：△FDC为等边三角形，

∵△CFG为等边三角形，

∴△FDC不可能为等腰三角形，故③错误；

综上正确的个数有2个；

故选C．

【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法．

3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（）

A．或 B．1或 C．或 D．或1

【答案】B

【分析】当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，可得△BPD为等边三角形，可得AP＝BP＝AB，当AP＝AD时，勾股定理求得AD即可求解．

【详解】解：当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，

∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，

∵AP＝DP，

∴∠ADP＝∠BAD＝30°，

∴∠BPD＝30°+30°＝60°，

∴△BPD为等边三角形，

∴BP＝DP，

∴AP＝BP＝AB＝1；

当AP＝AD时，

∵∠ADB＝90°，AB＝2，

∴AD＝，

∴AP＝．

当AD＝PD时，不合题意，

综上，AP的值为1或．

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以