湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学（解析版）.docx

湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得：.

故选：D.

2.已知向量.若，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据可求出结果.

【详解】因为，所以，，.

因为，所以，

所以，所以，解得.

故选：C

3.如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.

【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示，

可知四边形是梯形，，，，且，

过点作于点，由，故，

所以.

故选：C.

4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）

A. B. C. D.或

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由正弦定理得，整理得，

由余弦定理得，

又因为，所以．

故选：B．

5.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（）

A. B. C. D.2

【答案】A

【解析】

【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可.

【详解】设，

因为，

又，即，

解得，

所以，

所以，

故选：A.

6.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.

【详解】取、的中点、，连接，，，

则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，

，得，

在直角梯形中，，则，

则正四棱台的体积为.

故选：B

7.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（）（）

A.8米 B.9米 C.40米 D.45米

【答案】D

【解析】

【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，设，由，可得，

因为且，

在直角中，可得，解得，

所以.

故选：D.

8.如图，在长方体中，，，，E?F分别为棱?的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出过点，点的平面，使得平面，此时的轨迹即为平面与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度.

【详解】连接，过作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，

又因为平面，所以平面，所以，

又因为，且，所以平面，

所以的轨迹为，

因为，所以可知，

所以，所以，所以，

又因为，所以四边形为平行四边形，所以，

所以轨迹长度为：，

故选：A.

【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则

C.若，且，则

D若，，且，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.

【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确;

对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确;

对于C，若，且，则或，所以B不正确;

对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确.

故选:BD.

10.已知复数（为虚数单位），则（）

A.

B.的虚部为

C.

D.在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】AC

【解析】

【分析】AB选项，由共轭复数