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莆田三中2024-2025学年下学期期中
高一数学
一、单选题
1.已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【分析】根据复数除法运算求出,然后由复数的几何意义和共轭复数概念可得.
【详解】由得,
所以,对应点为,在第一象限.
故选:A
2.在中,,分别是边,的中点,点满足,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】结合图形,由平面向量的加法法则求解即可;
【详解】
,
故选:D.
3.若直线a不平行于平面,且,则下列结论成立的是(????).
A.内的所有直线与a是异面直线 B.内不存在与a平行的直线
C.内存在唯一一条直线与a平行 D.内的所有直线与a都相交
【答案】B
【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】设,
A选项,内过点的直线与共面,所以A选项错误.
D选项,内,不过点的直线与异面,所以D选项错误.
??
BC,若存在,则由于,
所以,这与已知矛盾,所以B选项正确,C选项错误.
故选:B
4.已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的母线长为(????)
A. B.3 C. D.4
【答案】D
【分析】设母线长为,根据题意得到,即可求解.
【详解】设母线长为,由题意,可得,解得,即圆锥的母线长为.
故选:D.
5.如图,在△ABC中,P是线段BN上的一点,若则实数m等于(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题可得,然后利用三点共线的推论即可得出答案.
【详解】,
,
因为P、B、N三点共线,所以,
故选:D.
6.如图所示,在空间四边形中,点,分别是边,的中点,点,分别是边,上的点,且,则下列说法正确的有(????)个
①,,,四点共面;
②与异面;
③与的交点可能在直线上,也可能不在直线上;
④与的交点一定在直线上.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得,且四边形EFGH是梯形,结合公理可得答案.
【详解】依题意,可得,,故,所以,,,四点共面;
所以①正确,②错误;
因为,所以四边形EFGH是梯形;
EF与GH必相交,设交点为M.
因为点M在EF上,故点M在平面ACB上,
同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点.
又AC是这两个平面的交线,
所以点M一定在直线AC上.所以④正确,③错误;
故选:C.
7.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子,内部木架结构,外部毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适合牧业和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体,下半部分圆柱的高为2.5米;上半部分圆锥的母线长为米,轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡(????)平方米.
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意,利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径,由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积,进而计算可得答案.
【详解】根据题意,如图所示为该组合体上半部分为圆锥,
由于其母线长为米,轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形,
设其高为,底面半径为,
则有,解可得,
则上半部分圆锥的侧面积
下半部分圆柱的侧面积
则该组合体的表面积(不含底面).
故选:A
8.在中,角的对边分别为的面积为,且满足条件,为边上一点,,则的边长为(????)
A.2 B. C.3 D.4
【答案】D
【分析】根据给定条件,利用余弦定理及三角形面积公式求出,再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解.
【详解】在中,由及余弦定理、面积公式得:
,则,而,故,
在中,,
则,,
在中,,
由正弦定理得.
故选:D
二、多选题
9.已知复数满足,则下列关于复数的结论正确的是(????)
A.
B.的虚部为
C.复数的共轭复数
D.复数是方程的一个根
【答案】AC
【分析】先由求出复数,然后逐个分析判断即可
【详解】解:由,得,
所以,所以A正确,
复数的虚部为1,所以B错误,
复数的共轭复数,所以C正确,
因为,所以复数不是方程的一个根,所以D错误,
故选:AC
10.下列说法正确的是(????)
A.若向量,则
B.若向量,则在上的投影向量为
C.在中,是的充要条件
D.在△ABC中,若,,,则△ABC有两解
【答案】BCD
【分析】用坐标表示出向量,用模长公式求出模长即可判断A选项;用向量坐标求向量的数量积判断B选项;由向量的投影向量的公式判断C选项;由坐标求出模长和向量的数量积,求出向量的夹角判断D选项.
【详解】由题,
所以,故A错;
,所以在上的投影向量为:,故B正确;
对于C中,在中,由得
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