黑龙江省实验中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段测试数学试题（解析）.docx

黑龙江省实验中学2024-2025学年度高一学年下学期第一次阶段测试

数学学科试题

考试时间：120分钟总分：150分

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1.在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（??）

A.2 B.2i C. D.i

【答案】C

【解析】

【分析】根据坐标得到，得到虚部.

【详解】复数对应的点是，故，虚部为-1.

故选：C

2.设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则的值为（????）

A.3 B. C.9 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解.

【详解】由题知由于，是空间中两个不共线的向量，

且有，，，

所以，

因为三点共线，

所以，

所以存在实数，使得，

所以，

所以.

故选：D

3.在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量线性运算的几何表示即可得解.

【详解】如图，

因为在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，

所以，

则.

故选：A.

4.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（）

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求.

【详解】由，得，

因为，，所以.

由余弦定理得，解得，

所以.

故选：C.

5.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（???）（单位：米）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在直角三角形中求得答案即可.

【详解】由题意，中，，

由正弦定理可知.

在中，，

于是.

故选：D

6.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.

【详解】因为，

根据正弦定理得，，

因为为锐角，所以，

所以，即，而A为锐角，

所以，

因为根据正弦定理，

所以，

因为三角形周长为，

又因为，所以，

所以，

因为，即，

所以，

即，，

所以.

故选：C.

7.已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（????）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出辅助线，得到，结合条件得到三点共线，数形结合得到当为中点时，⊥，取得最小值，由三角形中位线得到最小值

【详解】取的中点，连接，则，

因为，所以，

又，故三点共线，

因为是边长为1的正三角形，所以⊥且，

又为的中点，所以当为中点时，，

故此时⊥，取得最小值，

由三角形中位线可知，此时，故的最小值为.

故选：C

8.已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（????）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.

【详解】因为，所以由正弦定理得，

即，由余弦定理得，又，所以，

由知，，

所以

，当且仅当即时等号成立，

所以线段长度的最小值为.

故选：A

二、多项选择题（每题6分，共18分）

9.已知向量，则（）

A. B.

C D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用向量线性运算、数量积与模的坐标表示，逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】对于AC，因为，

所以，

则，

故，显然不成立，故C正确，A错误；

对于B，易知，

则，故B错误；

对于D，易知，

则，又，

所以，故D正确；

故选：CD.

10.下列说法正确的是（????）

A.在△ABC中，，E为AC的中点，则

B.已知，若与的夹角是钝角，则

C.在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则

D.在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来再判断，对于B，由题意可知，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于C，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积求解，对于D，由向量的加法法则判断.

【详解】

对于A，因为中，为的中点，

所以，

$，所以A正确；

对于B，因为与的夹角是钝角，

所以，且两向量不共线，

由得，

得，当与共线时，

得，所以当与的夹角是针