浙江省丽水发展共同体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学（原卷版）.docxVIP

2024学年高一年级第二学期丽水发展共同体期中联考

数学试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.若复数满足，则的虚部为（）

A. B. C.4 D.

2.已知向量，满足，，则（）

A. B.0 C.1 D.2

3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A. B. C. D.

4.在中，已知分别为三个内角的对边，，则（）

A. B. C. D.

5.设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交

7.在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（）

A.m不是定值，M是定值 B.m是定值，M不是定值

C.m是定值，M是定值 D.m不是定值，M不是定值

8.如图所示，等边内有3个全等的小三角形，且，，则的面积为（）

A.7 B. C.14 D.

二、多项选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知复数z，，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

10.已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（）

A.若，则

B.若，则

C若，则

D.若，则在上的投影向量是

11.在正四棱锥中，，过的平面（不与底面重合）与侧棱，分别交于点E，F，且平面将四棱锥分成上下两个部分的体积分别为，，则以下命题正确的是（）

A.

B.

C.若E是的中点，则

D.若平面经过正四棱锥外接球的球心，则

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.

13.在正四棱台中，，则该棱台体积为______.

14.在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是______.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量，，.

（1）若，求x的值；

（2）设函数，求函数最大值.

16.如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.

17.在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.

（1）求A；

（2）若，，求的面积.

18.如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.

（1）若E与点C重合，求x，y的值；

（2）若，求的值；

（3）若存在点E，使得，求取值范围.

19.祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，.

（1）写出，，三者之间的关系；

（2）过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题：

（i）求截得的“球缺”的体积；

（ii）求截得的“球缺”的表面积.