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函数极限基础试题及答案

一、单项选择题

1.函数极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，以下哪个条件不是必需的？

A.对于任意的ε0，存在一个δ0，使得当0|x-a|δ时，|f(x)-L|ε

B.函数f(x)在a的邻域内必须有定义

C.函数f(x)在a处必须有定义

D.a可以是实数域中的任意点

答案：C

2.以下哪个函数在x趋近于0时的极限不存在？

A.f(x)=sin(x)/x

B.f(x)=1/x

C.f(x)=x^2

D.f(x)=e^x

答案：B

3.函数f(x)=x^2在x趋近于2时的极限是？

A.4

B.2

C.0

D.不存在

答案：A

4.函数f(x)=1/x在x趋近于0时的极限是？

A.0

B.1

C.∞

D.-∞

答案：C

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x趋近于1时的极限是？

A.0

B.1

C.-1

D.2

答案：B

二、填空题

1.函数f(x)=2x+3在x趋近于1时的极限是________。

答案：5

2.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x趋近于1时的极限是________。

答案：2

3.函数f(x)=sin(x)在x趋近于π/2时的极限是________。

答案：1

4.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)在x趋近于2时的极限是________。

答案：4

5.函数f(x)=1/x在x趋近于∞时的极限是________。

答案：0

三、解答题

1.求函数f(x)=(x^2-9)/(x-3)在x趋近于3时的极限。

解：首先对函数进行化简，f(x)=(x^2-9)/(x-3)=((x-3)(x+3))/(x-3)。当x趋近于3时，分子和分母中的(x-3)项相互抵消，得到f(x)=x+3。因此，当x趋近于3时，f(x)的极限为3+3=6。

答案：6

2.求函数f(x)=(x^3-2x^2+x-2)/(x^2-4)在x趋近于2时的极限。

解：首先对函数进行化简，f(x)=(x^3-2x^2+x-2)/(x^2-4)=((x-2)(x^2+1))/((x-2)(x+2))。当x趋近于2时，分子和分母中的(x-2)项相互抵消，得到f(x)=x^2+1/(x+2)。因此，当x趋近于2时，f(x)的极限为2^2+1/(2+2)=4+1/4=17/4。

答案：17/4

3.求函数f(x)=(2x^3-3x^2+4x-5)/(x^3-x^2+2x-3)在x趋近于1时的极限。

解：首先对函数进行化简，f(x)=(2x^3-3x^2+4x-5)/(x^3-x^2+2x-3)=((2x-3)(x^2+1))/((x-1)(x^2+1))。当x趋近于1时，分子和分母中的(x^2+1)项相互抵消，得到f(x)=2x-3/(x-1)。因此，当x趋近于1时，f(x)的极限为2*1-3/(1-1)=-1/0，极限不存在。

答案：极限不存在

4.求函数f(x)=sin(x)/x在x趋近于0时的极限。

解：这是一个经典的极限问题，可以通过夹逼定理或者洛必达法则来求解。这里我们使用洛必达法则，即当分子和分母同时趋近于0或∞时，它们的比值的极限等于它们导数的比值的极限。对分子和分母分别求导，得到f(x)=cos(x)/x-sin(x)/x^2。当x趋近于0时，f(x)的极限为1/0-0/0=1。因此，当x趋近于0时，f(x)的极限为1。

答案：1

5.求函数f(x)=e^x-1/x在x趋近于0时的极限。

解：这是一个0/0型的极限问题，可以通过洛必达法则来求解。对分子和分母分别求导，得到f(x)=e^x+1/x^2。当x趋近于0时，f(x)的极限为∞+∞，极限不存在。

答案：极限不存在

四、证明题

1.证明函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)在x趋近于2时的极限为4。

证明：首先对函数进行化简，f(x)=(x^2-4)/(x-2)=((x-2)(x+2))/(x-2)。当x趋近于2时，分子和分母中的(x-2)项相互抵消，得到f(x)=x+2。因此，当x趋近于2时，f(x)的极限为2+2=4。

答案：证明完毕

2.证明函数f(x)=sin(x)/x在x趋近于0时的极限为1。