六年级奥数第20讲时钟问题（讲义）苏教版六年级小升初数学学生版.docx

六年级奥数第20讲时钟问题

同学们对时钟一定非常熟悉了，但是对钟面上的许多有趣的数学问题却不一定清楚。

这一讲，我们讨论的数学问题是时针和分针的位置关系(重合、垂直、成方向相反的一条直线),某一时刻时针和分针的夹角等等。

在解决时钟问题时，首先要弄清时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针的行走速度：

(1)按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走5小格，分针每小时比时针多走55小格。

(2)按“分”算，分针每分走1小格，时针每分走小格，分针每分比时针多走小格。

当然，分析时针和分针的行走速度，也可以用大格来研究，但不管怎样，分针行走的速度始终是时针的12倍。

例1从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合?

甲乙

【思路点拨】我估计时针和分针应该在“7”与“8”之间重合(如图乙)。这个问题可以转化成“追及”问题来解决。7点整，时针指向7,分针指向12(如图甲)。分针走得快，时针走得慢，两针同时出发，就好比分针去追赶时针一样，当分针追上时针，时针和分针也就重合了(如图乙)。

钟面一周有60小格，分针在时针后面35小格，要追及的路程就是35小格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，分针每分钟可以追1-=小格。最后用“路程÷速度差=追赶的时间”来计算。

例26时整，分针和时针正好在一条直线上，至少经过多少分钟，两针正好垂直?

甲乙

【思路点拨】6点时，分针在时针后面30小格(如图甲),分针和时针成180°角。分针和时针要互相垂直，分针只能在时针后面15小格才行。这道题仍然要转化成“追及”问题，只是分针，要“追及”时针的路程是30-15=15(小格)。

例3在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上?

【思路点拨】时针和分针位于一条直线上，要分两种情况来考虑：①时针和分针重合(如图甲);②时针和分针成180°角(如图乙)。

甲乙

还是转化成“追及”问题来解决。假设现在就4点，第一种情况分针要“追及”时针20小格，就到了两针重合的位置(如图甲);第二种情况也是从4点开始，分针先“追及”时针20小格与时针重合(如图甲),然后分针还要比时针多走30小格与时针成180°角(如图乙)。所以，第二种情况分针共要比时针多走20+30=50(小格)。

例4在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹角是多少度(如图，指小于或等于180°的角)?

【思路点拨】1时50分，分针指向10,时针指向1与2之间。以钟面圆心为顶点，这个时刻分针与时针之间的夹角所对应的是3大格多一些。1大格对应的角度是360°÷12=30°,3大格对应的角度是90°。分针每小时走一圈，每分钟走360°÷60=6°,时针每分钟走6°×=0.5°“多的一些”就是时针从1点整开始走到1点50分这50分钟所形成的角度。

例5现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与分针到“4”的距离第一次相等?

甲乙

【思路点拨】如果把题中在4点钟时(如图甲)看做分针去“追”时针，那应“追”到什么确切的位置(如图乙)就不得而知了。我们不妨换一个角度想，假设4点时时针和分针同时出发，相向而行(时针反方向行走，分针还是正常方向行走),那么就会在图乙中分针所在的位置“相遇”。这样就转化成“相遇”问题了。在这个“相遇”过程中，时针和分针共同行走的路程是20小格(从12到4);分针的速度是每分钟行走1小格，时针的速度是每分钟行走小格。再用路程和÷速度和=相遇时间，就可以求出相遇时间了。

1.从5点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合?

2.从7点整开始，至少经过多少分钟，两针正好垂直?

3.吃过晚饭，方宇一家出去散步，他们出门前钟面显示7点多钟，他们回来后钟面显示也是7点多钟，且两次钟面上时针与分针都恰好位于一条直线上，请问：他们散步用了多长时间?

4.现在是8点整，再过多长时间，时针和分针将第一次在一条直线上?

5.时针和分针每隔多少时间重合一次?一昼夜重合多少次?

6.4时整时，时针与分针的夹角是多少度(指小于180°的角)?

7.在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角