《高数教学课件》第二节一阶微分方程.pptxVIP

一阶微分方程机动目录上页下页返回结束第二节一、可分离变量的微分方程第九章二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程

转化机动目录上页下页返回结束解分离变量方程一、可分离变量方程

分离变量方程的解法:机动目录上页下页返回结束设y＝j(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝F(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝y(y)也是①的解.

例3求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束

例4求微分方程解分离变量得两边积分得即由初始条件得C=2,(C为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束满足初始条件的特解.

练习1求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束

练习2解法1分离变量即(C0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束

练习3子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束

例5.大小无关，它是一个常数r，代表种群的自然增长能力解设在t时刻种群的数量N=N(t),则在时刻t到t+Dt这段时间间隔内，种群的平均增长率为种群的平均相对增长率为,在一定条件下，种群的相对增长速率与种群的因而也称为种群的自然增长率.假定在时刻t=t0时，种群的数量N=N0，试确定种群数量与时间的函数关系.

上式两边取极限,得到在时刻t时的相对增长率为依题设条件有,分离变量后,两边积分得即

得01于是得种群数量与时间的函数关系为02

例6.机动目录上页下页返回结束生存的最大数量为A，此值称为饱和种群量，N为t时刻解依题设条件，得如果在有限的生存资源条件下，能够维持种群的种群量，A-N称为可利用的增长空间．相应地用来衡量种群的未饱和程度，称为生命系数.用代替不变的r,试确定种群数量N与时间t的函数关系.

分离变量后，得机动目录上页下页返回结束P4P3P2P1两边积分得从而即P5即

得于是得种群数量与时间的函数关系为12

例7.身的出生与死亡外，既无迁入也无迁出）设在t时刻的解设在[t,t+dt]间隔内，动物的增量为dN.由题意知考虑某种与外界完全隔绝的动物（它们除了自动物数量为N，并设它们的出生率和死亡率分别为a和b,而且它们的出生数与死亡数都与t时刻的动物数及时间成正比.设初始时刻动物的数量为N0,试确定动物数量N与时间t的函数关系.在dt时间段内，动物的出生量和死亡量分别为而动物的增量=出生量-死亡量于是有①

分离变量后，积分机动目录上页下页返回结束得01即02得03于是得动物数量与时间的函数关系为04注：结果表明当ab时动物数量将无限增加；05当ab时动物数量逐渐减少而趋于灭亡.06

对a，b进行修正：机动目录上页下页返回结束则上式化为将方程分离变量后，两边积分其中a，b，c，d为正常数，于是①式化为

得因此得010203

例8.中营养物质的含量是相当重要的.假定容积为10L的液解令y表示在时刻t时容器营养物质的质量.由题意知在细胞的连续培养过程中，知道任何时刻容器体中含有某种营养物质2kg．从时间t=0时开始，含量为10%的营养液体以每分钟3L的速率流入容器中，经充分搅拌后，液体以每分钟3L的同一速率排出容器外，求容器内营养物质与时间的函数关系.当t=0时，y=2，在任何时刻t，容器内液体的总量为因此

分离变量后，积分得即因此，可建立微分方程又因为容器内营养物质的变化率=营养物质的流入速率－营养物质的流出速率而营养物质的流入速率=0.1×液体的加入速率=0.3.故所求的函数为

内容小结机动