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相似三角形证明及综合题
1、如图，在中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结．
〔1〕求证：．
〔2〕当时，求的度数．
〔1〕证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC.
又∵DF=DC，
∴AB=DF.
同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC.
又∵∠EBC=∠CDF，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△FDA.〔4分〕
〔2〕解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,
∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.
∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.
∵∠BAD=32°，
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°，
∴∠EBH=58°.
2、(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
〔1〕求证：；
〔2〕当为边中点，时，如图2，求的值；
〔3〕当为边中点，时，请直接写出的值．
B
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
解：〔1〕，．
．
，
，．
；
B
B
A
D
E
C
O
F
G
〔2〕解法一：作，交的延长线于．
，是边的中点，．
由〔1〕有，，
．
，，
又，．
，．
，，，
，．
B
B
A
D
E
C
O
F
解法二：于，
．．
设，那么，
．
，
．
由〔1〕知，设，，．
在中，．
．．
〔3〕．
3、(2009年上海市)∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足〔如图1所示〕．
〔1〕当AD=2，且点与点重合时〔如图2所示〕，求线段的长；
〔2〕在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
〔3〕当，且点在线段的延长线上时〔如图3所示〕，求的大小．
A
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
〔Q〕
〕
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
【关键词】等腰直角三角形相似三角形共高三角形的面积直角三角形相似的判定
〔1〕∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴=1，∠D=45°
∴PQ=PC即PB=PC，
过点P作PE⊥BC，那么BE=。
而∠PBC=∠D=45°
∴PC=PB=
〔2〕在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
设EB=3k，那么EP=4k，PF=EB=3k
∴，
=
∴
函数定义域为
FEFEADPCB
F
E
F
E
A
D
P
C
B
Q
图1
D
A
P
C
B
〔Q〕
〕
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
〔3〕答：90°
证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
∴=
∴Rt△PQF∽Rt△PCE
∴∠FPQ=∠EPC
∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
4、〔2009年宁波市〕如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．
〔1〕四边形OABC的形状是，
当时，的值是；
〔2〕①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
〔
〔Q〕
C
B
A
O
x
P
〔图3〕
y
Q
C
B
A
O
x
P
〔图2〕
y
C
B
A
O
y
x
〔备用图〕
〔第26题〕
〔3〕在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】解：〔1〕矩形〔长方形〕；
．
〔2〕①，，
．
，即，
，．
同理，
，即，
，．
．
②在和中，
．
．
设，
在中，，解得．
．
〔3〕存在这样的点和点，使．
点的坐标是，．
对于第〔3〕题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点画于，连结，那么，
，，
．
设，QC
Q
C
B
A
O
x
P
y
H
，
，
如图1，当点P在点B左侧时，
，
在中，，
QCBAOx
Q
C
B
A
O
x
P
y
H
，
．
②如图2，当点P在点B右侧时，
，．
在中，，解得．
，
．
综上可知，存在点，，使．
5、如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1
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