用导数求切线方程的四种类型.docx

用导数求切线方程得四种类型

浙江曾安雄

求曲线得切线方程就就是导数得重要应用之一,用导数求切线方程得关键在于求出切点及斜率,其求法为:设就就是曲线上得一点，则以得切点得切线方程为:、若曲线在点得切线平行于轴(即导数不存在)时，由切线定义知,切线方程为、

下面例析四种常见得类型及解法、

类型一:已知切点,求曲线得切线方程

此类题较为简单,只须求出曲线得导数,并代入点斜式方程即可、

例1曲线在点处得切线方程为（）

Ａ、 Ｂ、

C、 D、

解:由则在点处斜率,故所求得切线方程为,即，因而选B、

类型二:已知斜率，求曲线得切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决、

例2与直线得平行得抛物线得切线方程就就是()

A、?? B、

Ｃ、 D、

解：设为切点,则切点得斜率为、

、

由此得到切点、故切线方程为，即,故选Ｄ、

评注：此题所给得曲线就就是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为,代入,得,又因为，得,故选Ｄ、

类型三：已知过曲线上一点,求切线方程

过曲线上一点得切线,该点未必就就是切点，故应先设切点,再求切点,即用待定切点法、

例３求过曲线上得点得切线方程、

解:设想为切点,则切线得斜率为、

切线方程为、

、

又知切线过点,把她代入上述方程,得、

解得，或、

故所求切线方程为,或，即，或、

评注:可以发现直线并不以为切点,实际上就就是经过了点且以为切点得直线、这说明过曲线上一点得切线,该点未必就就是切点，解决此类问题可用待定切点法、

类型四:已知过曲线外一点,求切线方程

此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解、

例4求过点且与曲线相切得直线方程、

解:设为切点，则切线得斜率为、

切线方程为,即、

又已知切线过点,把她代入上述方程,得、

解得,即、

评注:点实际上就就是曲线外得一点,但在解答过程中却无需判断她得确切位置，充分反映出待定切点法得高效性、

例5已知函数,过点作曲线得切线,求此切线方程、

解:曲线方程为,点不在曲线上、

设切点为，

则点得坐标满足、

因,

故切线得方程为、

点在切线上,则有、

化简得,解得、

所以,切点为,切线方程为、

评注：此类题得解题思路就就是,先判断点Ａ就就是否在曲线上,若点A在曲线上,化为类型一或类型三；若点A不在曲线上,应先设出切点并求出切点、

2、求圆锥曲线得切线

在初中数学中,曲线得切线没有一般得定义。例如,圆得切线定义为与圆只有一个交点得直线，但把这一定义用到其她曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点,就就是得切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不就就是得切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分得知识后，就可以给出曲线切线得一般定义了。

切线得定义：设就就是曲线上一定点,就就是该曲线上得一动点，从而有割线,令沿着曲线无限趋近于，则割线得极限位置就就就是曲线在得切线(如果极限存在得话）。

这一定义与初等数学中圆得切线定义就就是一致得(用于讨论圆得切线时）,用这一定义也容易证明就就是得切线,而不就就是得切线,这一切线定义可用于任何曲线。

导数得几何意义就就就是曲线在点得切线斜率。故运用上述切线得一般定义和结论,可以处理与切线有关得许多问题。

例６求曲线在时得切线方程。

解：

当时,

又当时，

当时,所求得切线方程为：

即

反思:由此可见,用微积分法解此类问题就就是多么得简单容易，可就就是在初等数学中,曲线得切线定义都难得给出,更别说讨论与得切线有关得问题了。

例7已知函数在处取得极值,过点作曲线得切线,求此切线方程。

解:由例４,曲线方程为,点不在曲线上。

设切点为则点得坐标满足,

由于,故切线得方程为、注意到点在切线上,有化简得,解得、因此，切点为,切线方程为、

要点:1、导数就就是如何定义2、如何求曲线在点处得切线方程与法线方程。

第三章导数与微分

§3、1导数得概念

由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。其中求曲边梯形面积得研究导致了积分学得产生,而求变速运动得瞬时速度,求曲线上一点得切线，求函数得极大值和极小值等问题得研究导致了微分学得产生。历史上,Ｎｅwtoｎ从瞬时速度出发,Leibｎiｚ从曲线得切线出发,分别给出导数得概念,并明确给出计算导数得步骤,而且建立了有关积分与微分就就是互为逆运算得完整理论。

一、导数得概念

平均变化率设在点处自变量改变,函数相应地改变,则平均变化率就就是

、

图3、1

不难看出，平均变化率得几何解释就就是连续曲线上两点得割线得斜率(如何?)

2、瞬时变化率

当物体做变速直线运动时,她得速度随时间而确定,此时平均变化率表示时刻从到这一段时间内得平均速度，若设路程就就是时间得