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高考中，如何用拉格朗日乘数法来求多元函数的条件极值

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数条件极值的重要方法，当高等数学的一些知识下放到高中阶段时，此时用高等数学里面的一些知识来去解决高考试卷中的相关试题，那么就会非常简单，可以称为狂暴秒杀解题。

一、何谓条件极值

在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。

我们知道点到点的距离为.现在的问题是要求出曲面上的点使为最小.即问题归化为求函数在条件下的最小值问题.

又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）。

二、条件极值的必要条件

设在约束条件之下求函数的极值。当满足约束条件的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有.代入,

就有,

即,亦即(,),).

可见向量(,)与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(,)与向量,)线性相关,即存在实数,使(,)+,).

亦即

三、Lagrange乘数法是如何运用的？

由上述讨论可见,函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.

构造拉格朗日常数：,(称其中的实数为Lagrange乘数)

则上述方程组即为方程组的解。

求解方程组的解的过程，是叫做求偏导函数。

以上过程涉及到求函数的偏导数。

拉格朗日常数法也可以这样表示：

求在约束条件Hx,y,z

L(x,y,z)=f(x,y,z)-λHx,y,z-μGx,y,z,可由Lx=0,Ly=0,Lz=0,Hx,y,z=0,Gx,y,z=0,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。这里

四、具体题目分析

第一类：如何用拉格朗日乘数法求解不等式恒成立问题

总结：用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的解题步骤：

1、构造拉格朗日函数；

2、对于各个分量求偏导数，并令各偏导数为0,求解方程组的解；

3、判断是否有最值，若存在，则所得即为所求.

温馨提示：多元函数的偏导数怎么求？

类似控制变量法，即，将其他变量看作常数，对所研究主变量求导.

第二类：多元函数的有条件最值

例6、设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？

步骤：1．相关条件：x、y永远满足：，令，即恒成立；

2．目标函数：所求的最大式子：；

3．构造拉格朗日函数：；

4．求偏导数：

（代表函数偏求导数，具体求导方法是视为变量，为常数即可）

一元函数中，有极值点，在这里，同样满足：，；

再联立解出最大的（因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则

需要讨论）

解：由题意可得：，；

；，；

与联立，解得，由于只存在最大值，

所以最大面积：．

例7、

例8、设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．（2011年高考浙江卷理科16）

第三类：多元函数的无条件最值

例9、

例10、

例11、（2010年高考重庆市理科7）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是：

例12、题目：已知，求的最小值．

变式：，则有；

令，，则有；

从而有，（*）其中有：，；

它的图象是圆的一部分；

又设；

于是有，（**）

下面利用数形结合方法求最小值：

画出图象如下：

方程（*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；

方程（**）是以原点为圆心，向外扩张的圆；当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，

恰好在坐标轴上的点，而A为，（B为）；

所以有即；故的最小值是．

同时，可知最大值为：．