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2025年中考数学总复习《以等腰或直角三角形为背景的计算与证明》专项测试卷（附答案）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明

【典例1】

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法.

【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度.也有通过列方程或方程组计算等腰三角形中相关边长的题目.

【跟踪训练1】

定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

(1)请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种).

图1

(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值.

(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

图2

【中考预测】

阅读下面的材料:

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC的长.

小聪思考:因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连结DE.这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决.

请解决下列问题:

(1)如图2，连结DE.

①求证:△BDE是等腰三角形.

②求BC的长.

(2)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，求证:AD＝BD＋BC.

中考预测图

类型之二以直角三角形为背景的计算与证明

【典例2】

已知:如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE，交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC.求证:BE⊥AC.

【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等等知识结合使用.

【跟踪训练2】

1.在△ABC中，∠CAB＝75°，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD相交于点F.

(1)求证:EF＝EB.

(2)若CE＝6，求△ACF的面积.

1图

2.已知:如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.

(1)若BD＝3CD，S△ABC＝96，求AF的长.

(2)求∠BED的度数.

2图

【中考预测】

如图1，△ACB为等腰直角三角形，△EDF为非等腰的直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且AB＝EF.将两个直角三角形斜边重叠，按如图2所示的方式摆放.

(1)当AB＝EF＝6，DB＝35

①AD＝?.?

②连结DC，求DC的长.

(2)线段CD，AD，BD之间存在怎样的数量关系?请直接写出答案.

中考预测图

【参考答案】

类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明

【典例1】

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法.

解:如答图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形(剪法不唯一).

【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度.也有通过列方程或方程组计算等腰三角形中相关边长的题目.

【跟踪训练1】

定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

(1)请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种).

图1

(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值.

(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

图2

解:(1)如答图1.

答图1

(2)分两种情况讨论:

①当AD＝AE时，如答图2.

答图2

∵2x＋x＝30＋30，

∴x＝20;

②当AD＝DE时，如答图3.

答图3

∵30＋30＋2