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云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（B卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则实数（???）

A． B． C．2 D．

3．下列命题中，正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．向量与向量的模相等

4．在中，满足，则的形状为（???）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5．已知，则（???）

A． B． C． D．

6．已知为内一点，满足，则是的（???）

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心

7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（???）

A． B．

C． D．

8．如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（????）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（???）

A．

B．已知向量，则与的夹角为

C．向量能作为平面内所有向量的一组基底

D．若向量是与向量同向的单位向量，则

10．定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C． D．

11．若函数，则下列判断正确的是（????）

A．是减函数

B．在上的最小值为

C．若均为正整数，则为有理数

D．若在上有零点，则的取值范围为

三、填空题

12．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（用和表示）．

13．若向量满足，则在上的投影向量是．

14．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为.

四、解答题

15．设是两个不共线的向量，已知，，．

(1)求证：三点共线；

(2)若且，求实数的值．

16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点．

(1)是线段上靠近A的三等分点，求点的坐标；

(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

17．已知在中，，分别为边上的点，且．

(1)若，用向量方法求证：；

(2)延长到，若（为常数），，求的长度．

18．若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”．

(1)试判断函数是否是“函数”，并说明理由；

(2)若函数（其中e为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围．

19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．

(1)已知，求；

(2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：；

（ⅱ）已知非零向量满足，求．

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《云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（B卷）》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

C

D

C

A

B

D

D

AD

ACD

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】由交集定义可得答案.

【详解】因为集合，所以.

故选：C．

2．C

【分析】利用坐标表示向量共线计算即可.

【详解】因为向量，且，所以.

故选：C．

3．D

【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误；

对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误；

对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误；

对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反．

根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确，

故选：D．

4．C

【分析】取的中点，由题可得，据此可判断选项正误.

【详解】取的中点，则，所以．

又，故，即为等腰三角形.

故选：C．

5．A

【分析】由二倍角的正弦公式结合齐二次式分子分母同时除以求解即可.

【详解】.

故选：A．

6．B

【分析】由已知可得，同理可知，，