《有限元方法》课件.pptVIP

有限元方法概论一种将复杂问题分解为简单部分的数值分析技术20世纪60年代发展，现已成为工程计算基石广泛应用于结构、流体、热、电磁、生物等领域

有限元方法发展历程11960年代飞机结构分析应用21970年代商业软件出现31990年代图形界面普及42000年后多物理场耦合分析

有限元法基本思想整体近似通过子区域拼接获得系统响应区域剖分将复杂几何分为简单单元局部分析每个子区域内进行简化求解

典型问题举例固体力学结构变形与应力分析热传导温度场与热流计算电磁场电场、磁场分布模拟流体力学流场与压力分布计算

有限元与传统数值方法比较方法类型几何适应性精度计算量有限元法极强高较大有限差分法一般中等中等谱方法较弱极高较小

有限元法数学基础泛函分析Sobolev空间与函数逼近变分原理最小势能原理应用矩阵理论线性方程组的求解技术

平衡方程与结构力学基础外力作用集中力、分布荷载1内力产生力的传递与平衡2结构响应变形与应力发展3平衡状态静力平衡方程满足4

变分原理简介变分原理基于泛函极值寻找解物理系统趋于能量最小状态Ritz法通过试函数展开近似解最小化能量泛函确定系数Galerkin法加权残值法典型应用与Ritz法等价（自伴算子）

有限元离散化概念几何离散复杂几何划分为单元节点定义单元连接点建立场函数近似形函数构造连续解

基本单元类型

形函数（插值函数）原理形函数定义连接节点值的插值多项式节点特性本节点值为1，其他节点为0连续性保证单元间满足位移连续阶次选择一次形函数线性变化二次形函数曲线变化

节点与网格生成结构化网格规则几何区域适用非结构化网格复杂几何形状适用自适应网格根据计算结果优化网格质量控制避免尖锐角和扁平单元

有限元逼近与收敛性误差来源离散化误差数值积分误差收敛率单元尺寸减小，误差降低p次元素，收敛率为O(h^p)Céa引理有限元解与精确解误差上界

有限元基本流程前处理几何建模与网格划分求解矩阵组装与方程求解后处理结果可视化与分析

弱形式推导强形式微分方程本身要求高阶导数存在边界条件显式满足弱形式加权积分形式降低连续性要求自然边界条件隐含

一维问题有限元建模2节点数一维线性单元节点数1自由度/节点简单拉伸杆单节点自由度EA/L刚度系数单元刚度矩阵元素

典型一维单元举例轴向杆单元承受拉压，不承受弯曲梁单元可承受弯曲和剪切弹簧单元模拟弹性连接

二维问题有限元建模平面应力问题薄板问题σz=τxz=τyz=0平面应变问题厚体截面问题εz=γxz=γyz=0轴对称问题围绕轴线旋转体圆柱坐标系描述

三角形单元详解节点配置3节点（线性）或6节点（二次）形函数线性或二次多项式自然坐标面积坐标系表示数值积分1点或3点高斯积分

四边形单元详解形状与节点4节点（双线性）或8/9节点（二次）等参单元使用相同形函数映射几何和场变量数值积分2×2或3×3高斯积分点优势比三角形单元精度更高

三维问题有限元分析四面体单元4节点（线性）10节点（二次）适合复杂几何六面体单元8节点（线性）20节点（二次）计算效率高棱柱单元6节点（线性）过渡层应用特殊区域填充

建立单元刚度矩阵形函数计算雅可比矩阵B矩阵计算数值积分

单元力向量组装集中力直接施加到节点映射到全局自由度分布力通过形函数积分转为等效节点力面荷载体积力惯性力边界力边界条件产生的等效力位移、温度等约束

总刚度矩阵组装1单元贡献根据节点编号映射重叠区域叠加共享节点累加刚度稀疏矩阵形成大量零元素高效存储

有限元方程求解直接法高斯消元法LU分解Cholesky分解迭代法共轭梯度法GMRES法大规模问题适用特殊技术稀疏矩阵存储带宽优化并行求解

计算结果的处理位移场变形后形状与放大系数应力云图多种应力分量可视化矢量图流场、热流方向展示

误差分析离散化误差网格尺寸与近似阶次限制数值积分误差高斯点数不足导致建模误差几何简化与材料模型选择计算误差舍入误差与条件数影响

收敛性与精度改进h-细化增加单元数量保持单元阶次不变收敛率O(h^p)p-加密提高形函数阶次保持单元数量不变指数级收敛hp-自适应结合两种方法区域选择性应用最佳收敛效率

求解非线性问题几何非线性大变形与旋转效应材料非线性塑性、超弹性、蠕变接触非线性边界条件变化与摩擦求解算法牛顿-拉夫森法与弧长法

动力学有限元分析时间位移速度

热传导问题有限元法热传导方程温度梯度与热流关系瞬态与稳态情况边界条件指定温度指定热流对流换热辐射换热

协同场问题直接耦合同时求解所有场方程序贯耦合交替求解各场方程单向耦合一个场影响另一场

接触问题有限元分析点到点接触节点与节点之间接触面到面接触表面间的互相作用接触模型无摩擦、库伦摩擦数值方法罚函数法和拉格朗日乘子法

有限元软件介绍

有限元软件流程演示几何建模内部建模或导入CAD模型网格划分自动/手动网格划分与检查设置分析材料、边