高考数学复习讲义：规范答题4　立体几何.pdfVIP

规范答题4立体几何

(12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的中点

分别为D，E，O，AD＝5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

(1)证明：EF∥平面ADO；[切入点：由BF⊥AO找F位置]

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；[切入点：证明AO⊥平面BEF]

(3)求二面角D－AO－C的正弦值．[方法一关键点：找二面角D－AO－C的平面角]

[方法二关键点：由AO⊥BE及PB长求点P坐标]

(1)证明设AF＝tAC，

→→→→→

则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，❶(1分)

1

→→→

AO＝－BA＋BC，

2

因为BF⊥AO，

→→

所以BF·AO

11

→→→→→2→2

＝[(1－t)BA＋tBC]·－BA＋BC＝(t－1)BA＋tBC＝4(t－1)＋4t＝0，❷(3分)

22

1

解得t＝，则F为AC的中点．

2

又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，

于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，

又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，

所以EF∥平面ADO.(4分)

(2)证明由(1)可知EF∥DO，

22

由题意可得AO＝AB＋OB＝6，

16

DO＝PC＝，

22

30

所以AD＝5DO＝，❸(6分)

2

15

222

因此DO＋AO＝AD＝，

2

则DO⊥AO，

所以EF⊥AO，

又AO⊥BF，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，

则有AO⊥平面BEF，(7分)又AO⊂平面ADO，

所以平面ADO⊥平面BEF.(8分)

(3)解方法一如图，

过点O作OH∥BF交AC于点H，

设AD∩BE＝G，连接DH，GF，

1

由AO⊥BF，得OH⊥AO，且FH＝AH，❹(9分)

3

又由(2)知，OD⊥AO，

则∠DOH为二面角D－AO－C的平面角，

因为D，E分别为PB，PA的中点，

因此G为△PAB的重心，

11

即有DG＝AD，GE＝BE，

33

1

又FH＝AH，

3

3

即有DH＝GF，

2

315

4＋－