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第二十三讲：计数原理

【考点梳理】

1.排列与组合的概念

名称

定义

排列

从个不同元素中取出（）个元素

按照一定的顺序排成一列

组合

合成一组

排列问题的解题策略

特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；

正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；

不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；

3.二项式定理

．

4.二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：

公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．

二项式系数的性质

（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和

【典型题型讲解】

考点一：排列、组合

【典例例题】

例1．（2022·广东中山·高三期末）男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（????）

A． B． C． D．

例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文?数学?英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.

【方法技巧与总结】

排列、组合搞清楚区别

【变式训练】

1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．

2．（2022·广东惠州·一模）现有名学生报名参加校园文化活动的个项目，每人须报项且只报项，则恰有名学生报同一项目的报名方法有（????）

A．种 B．种 C．种 D．种

3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲?乙?丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（????）

A．18种 B．12种 C．72种 D．36种

4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A?C?D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（????）

A．100 B．120 C．300 D．600

5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（????）

A．480种 B．360种 C．240种 D．120种

6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（????）

A．24 B．36 C．60 D．240

7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（???????）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（???????）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（???????）

A． B． C． D．

10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________

考点二：二项式定理

【典例例题】

例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（????）

A．-240 B．240 C．-60 D．60

例2．（2022·广东深圳·高三期末）的各项系数和为（????）

A． B．27 C．16 D．

例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（????）

A．展开式中的常数项为1

B．

C．展开式中二项式系数最大的项是第四项

D．展开式中的指数均为偶数

【方法技巧与总结】

1.在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．

2.三项式的展开式：

若令，便得到三项式展开式通项公式：

，

其中叫三项式系数．

3.二项展开式二项式系数和