皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期4月份检测数学试题（含答案解析）.docx

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皖豫名校联盟2024-2025学年高三下学期4月份检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知非零向量在向量上的投影向量为，且，则（????）

A．2 B．1 C． D．

3．函数的图象在处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．已知集合，则中元素的个数为（????）

A．无数个 B．2 C．1 D．0

5．已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线与直线交于点，若的面积为，则的离心率为（????）

A． B． C．4 D．2

6．在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．8

7．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（????）

A．24 B．48 C．60 D．84

8．若不等式对任意正数恒成立，则的最大值为（????）

A． B． C． D．0

二、多选题

9．2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

年份代号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

市场规模

6.4

9.5

13.8

20.1

29

40.7

58

80.4

110

150

设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（????）

A．人工智能的市场规模与年份正相关

B．人工智能的市场规模的分位数为110

C．关于的回归方程为

D．人工智能的市场规模的年增长率约为

10．已知均为等差数列，设分别为的前项和，若，则（????）

A．

B．

C．

D．数列的前项和小于

11．已知椭圆的离心率为，将绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转，得到椭圆，设围成的公共区域的边界为曲线，则（????）

A．有四条对称轴

B．上任意两点间距离的最大值为

C．的周长

D．围成图形的面积

三、填空题

12．已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围为.

13．已知是定义在上的增函数，且图象关于点对称，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为.

14．已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为.

四、解答题

15．某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9，若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4.

(1)已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；

(2)规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为，则取何值时最大？

16．如图，直四棱柱的顶点都在球的球面上，是球的直径，且.

??

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

18．已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为.

(1)求的方程；

(2)证明：为定值；

(3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标.

19．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立.证明分为下面两个步骤：①证明当取第一个值时命题成立；②假设时命题成立，证明当时命题也成立.根据①②就可以断定命题对于从开始的所有正整数都成立.根据上述材料解决下面的问题：已知数列满足，当时，，其中.

(1)写出和，猜想的通项公式，并证明你的猜想；

(2)若，求；（参考公式：）

(3)对任意的且，设满足的的最小值为，证明：当时，

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