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凸函数的性质及其应用研究

目录

TOC\o1-3\h\z\u1引言 1

2凸函数的定义 1

3凸函数的等价定义 2

4凸函数的判定 5

5凸函数的性质 7

6凸函数性质的补充 10

7凸函数在证明不等式中的应用 14

7.1利用凸性证明不等式 14

7.2利用凸性证明三角形中有关内角和边的不等式 17

8结论 19

参考文献 20

1引言

凸函数在利用其性质及其几个判定方法证明不等式中有着举足轻重地位.所以在证明应用中是比较重要的函数，从凸函数的历史到现在的发展来看，凸函数及其相关理论知识的运用和推广一直以来都是探究不等式的一个热题，它的出现最早在Jensen[1905]著作中.凸函数的相关性质是函数领域的研究一个重点.比如具有很好的几何性质、运算性质、有界性等.由此看来，凸函数在理论价值和应用方面具有不可或缺的意义.到至今为止，对凸函数探究一直从未停止，并且每一次、每一位研究者对其的探讨研究都大有发现，如最先从定义的研究开始.之后发展到了对凸函数相关性质的研究，如今已经达到了利用凸函数的性质解决证明相关实际问题上辉煌.所以对凸函数的研究已经非常深切，并且凸函数应用领域也极为广泛.

凸函数相关性质的运用充分的体现在求最值和证明相关不等式的上.而不等式的求解方式多种多样、丰富多彩，并且每一种证明方法的应用都具备很强技巧性，所以函数的凸性是函数整个图像在相应区间上的变化，对其凸性在探究不等式的证明方法中占举重若轻位置，因此如果能精准巧妙的构造出凸函数，这样就可以简洁明了、精而准确地证明了不等式.同时凸函数在数学区域，规划论中也有着非常重要的运用，所以其在应用背景也是及其宽泛的.一些常用的、基本的不等式都可以利用函数的凸性得以证明.同样地，在不等式的分析论证中，凸函数用途是不可取代的.与函数凸性相关的不等式是基础数学理论知识的首要对象，特别是在一些常用不等式的分析推理中.利用詹森不等式与Hadamard不等式能巧妙证明一些较为不太容易证明不等式，而这些不等式往往只需要稍加构思，就能得以证明，从而使得证明过程变得非常有趣生动.由此就能充分体现其重要性所在.分开来讲，詹森不等式常常用来证明一些有限不等式，它是将无穷项求和与积分密切联系的重要纽带.

利用凸函数的相关知识，不仅可以精确的描绘函数的图像，而且还能巧妙的证明一些不等式.因此凸函数是一类非常重要的函数.

2凸函数的定义

之前已经学习过函数和，而对两者图像的研究是十分透彻.两者有着不相同的特征:曲线上任意两个点间的连线都形成了弧段，而这个弧段总在这两个点连线的下面;相反，曲线任意两个点间的连线形成的弧段恰恰是在这两点连线的上面.因此我们把拥有第一种性质描述的曲线称作是下凸的，以此来把相应的函数称作下凸函数;相反的，把第二种性质描述的曲线称为上凸的，并且把相应的函数称为上凸函数.接下来将以下凸函数为例作相关的介绍和分析.

定义设函数在区间上有定义，若对上的任意两点和任意实数(0，1)总有

(1)

则称在区间上是向下凸函数或下凸函数（向上凸函数或上凸函数），或称函数在区间上是向下凸（上凸）REF_Re\r\h[1].

图1下凸函数图2上凸函数

3凸函数的等价定义

若函数在区间上有定义，则以下各种形式是互相等价的.

(1)函数在区间上是下凸函数；

(2)，且，，都有

；

(3)，且，，都有

；

(4)，且，，都有

；

(5)，且，，都有

如果把(1)中的“下凸”改成“严格下凸”，并把(2)，(3)，（4），（5）中各个不等号改成严格不等号，那么修改后的各形式仍然是互相的等价的REF_Re\r\h[1].

证明.

由.，设

，

，，.

由下凸函数的定义，有

由.，用乘2中的不等式，有

这就是

由.得

或.

又有

或.

将以上的两个不等式连接起来，就得到（4），

.

最后由.设，且，，有

，.

则有

，.

由（5）中不等式

，

可改写成

.

这就是

，

即函数在区间是下凸函数.

注考察下凸函数图形上的任意三点

，，.

这里设.上面的（4）的意义是：的斜率的斜率的斜率（图3）.

图3

4