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例谈二次函数综合与学科核心素养培养

二次函数是描述现实世界中变量之间关系的一种重要的数学模型，是学生学习其他高等函数的重要基础.同时二次函数在解决一些数学实际问题时，也是非常有力的工具。对学生而言既能培养他们严谨的数学思维能力；也能提高他们的运算、分析问题、解决问题的核心素养.下面就某地区中考最后一道二次函数综合题与大家谈谈二次函数与核心素养的问题.

一、试题呈现

抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足E，连接BD.

（1）求抛物线的解析式及D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

二、解题分析

1.解题思路分析

（1）由B，C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D的坐标即可；

（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；

（3）由于M，N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得点Q的坐标.

2.解题过程展示

（1）把B，C两点坐标代入抛物线解析式，可得－18＋6b＋6＝0，解得b＝2.

∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋6.

∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8，∴点D的坐标为(2，8).

（2）过点F作FG⊥x轴于点G.

∵点F在抛物线上，∴设点F的坐标为（x，－x2＋2x＋6）.

则FG＝∣－x2＋2x＋6∣.

∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，

∴△FGB∽△BED＝90°.∴＝.

∵点B(6，0)，点D(2，8)，∴点E(2，0).

∴BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6－x.

∴＝.

当点F在x轴上方时，有＝.

解得，x＝－1或x＝6（舍去），此时点F的坐标为（－1，）.

当点F在x轴下方时，有＝－.

解得，x＝－3或x＝6（舍去），此时点F的坐标为（－3，－）.

（3）如图，设MN与PQ交于点O′.

∵点M，N关于抛物线的对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，且点Q在抛物线的对称轴上.

设点Q的坐标为（2，n）则点M的坐标可表示为（2－n，n）.

∵点M在抛物线y＝－x2＋2x＋6上，

∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6.

解得n＝－1＋或n＝－1－.

∴点Q的坐标为（2，－1＋）

或（2，－1－）.

三、试题特点

本题为二次函数与几何图形的综合应用。从知识的角度：涉及二次函数的图形与性质（如抛物线的解析式，顶点坐标，对称轴等），解一元二次方程，相似三角形的判定和性质、正方形的性质，图形的对称等；从方法的角度：涉及待定系数法，配方法，公式法等；从数学思想的角度：渗透了方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，空间想象等，能有效考查学生的数学学科核心素养．在问题（1）中注意待定系数法的应用；在问题（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在问题（3）中确定出P，Q的位置是解决问题的关键，同样要注意两种情况．

四、教学策略

在教学时，我将采用自主探究、合作交流、点拨归纳的方式进行，注意以下几个方面的问题：

1.体现学生主体.首先引导学生审题，弄清题目中的已知条件及要解决的问题.问题（1）比较基础，让学生独立思考完成，然后全部交流；问题（2）有一定难度，先让学生独立思考，在思考的基础上讨论交流解决问题；问题（3）难度有所提升，可首先引导学生想象，正确画出图形，在此基础上解决问题.通过数学活动，让学生感受“经历”知识的形成过程，帮助学生建构数学模型，获取具有数学本质的数学活动经验。

2.关注核心素养.将方程思想，数形结合思想，分类讨论思想有效贯穿解决问题的全过程之中.引导学生借助图形进行思考，在解决问题（2）时，从数的角度看，解方程得到两个解，从形的角度看，分点F在x轴上下两种情况，在每一种情况中，方程的解为什么要舍去一个？引导学生借助图形进行分析；问题（3）同样要借助图形分析两个解存在的可能性，即点Q在x轴上下两种情况.强化数学思想的渗透，培养学生的数学学科核心素养.

3.有效点拨归纳.问题解决后，要引导学生对解决问题的思路与策略进行总结归纳.让学生从给定的信息中产生新的信息、发现新的方法、寻找新的规律、探索新的路径。依据原有知识经验或生活经验，能够迅速从大脑中有哪些信誉好的足球投注网站出来，进行有效的比较选择，进而重现或重新组合，以达到解决问题的能