2025年春北师版数学八年级下册 5.4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程.docx

5.4分式方程

第1课时分式方程的概念及列分式方程

教学内容

第1课时分式方程的概念及列分式方程

课时

1

核心素养目标

1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想.

2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别.

3.经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，培养应用意识.

知识目标

1.掌握解分式方程的基本思路和解法；

2.理解分式方程可能无解的原因.

教学重点

掌握解分式方程的基本思路和解法.

教学难点

理解分式方程可能无解的原因.

教学准备

课件

教学过程

主要师生活动

设计意图

一、情境导入

二、探究新知

当堂练习，巩固所学

创设情境，导入新知

甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．

小组合作，探究概念和性质

知识点一：分式的混合运算

（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？

（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？

师生活动：教师引导学生用文字表述找出题目中的数量关系、再利用表格列出方程；

（2）列表分析如下：

（3）列表分析如下：

在列方程时，学生所列方程的形式可能有区别，要鼓励学生进行交流，参考答案只给出了一种形式.

另外，也可能有学生用算术方法求解，对此教师应当予以肯定，但同时要通过交流，让所有学生都理解建立分式方程的过程.

做一做

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？

师生活动：学生独立完成练习，选一名学生回答，其他同学分析正误.

应首先鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再组织讨论、交流.注意引导学生比较所列方程与整式方程的区别，从而归纳出这些方程的共同特点是：

方程里都含有分式，且分母中含有未知数.

需要说明的是，整式和分式都是有理式范围内的概念，与此类似，整式方程和分式方程则是有理方程范围内的概念，也就是说，分式方程指的是分母中含有未知数的有理方程.因此，讨论分式方程时不要把范围扩大到有理方程范围之外.

思考由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？

师生活动：师生共同作答——分母中都含有未知数.教师顺势总结分式方程的定义

知识要点

分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

分式方程的特征

（1）是等式；

（2）方程中含有分式；

（3）分母中含有未知数.

典例精析

例1下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？

师生活动：师生共同解答，教师要求学生说明判断理由.

例2一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少?

师生活动：师生共同解答，教师要求学生设未知数并列出分式方程：

思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？

师生活动：学生共同作答——方法和步骤一样.

归纳总结

列分式方程的步骤：

（1）审清题意，适当设出未知数；

（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.

当堂练习，巩固所学

1.下列属于分式方程的是（）

2.某校举行运动会，需要从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，设每个笔记本的价格为x元，则可列方程.

某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程.

设计意图：首先教科书设置了一个具有时代气息的“高铁列车”的问题情境，引入用分式方程表达实际问题的数量关系，感受数学在实际生活中的作用.

设计意图：通过找出问题的数量关系，让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程概念这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型思想.

设计意图：接着又设置了一个“救灾捐款”的