《图论方法》课件 .pptVIP

《图论方法》欢迎来到《图论方法》课程！本课程将带领您探索图论这一数学分支的奇妙世界，从基本概念到高级应用，系统地介绍图论的理论基础与实际应用。通过本课程的学习，您将掌握图的基本结构、算法和性质，了解如何运用图论解决现实世界中的各类问题。从社交网络分析到交通规划，从生物信息学到互联网技术，图论的应用无处不在。

什么是图论？图论的定义图论是数学的一个分支，研究的对象是图（Graph）。在数学上，图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。图论中的图与我们日常所说的图表、图像不同，它是一种抽象的数学模型，用来表示物体之间的关系和结构。历史起源图论的诞生可以追溯到1736年欧拉解决的著名柯尼斯堡七桥问题。这个问题问的是：如何在只经过每座桥一次的情况下，遍历所有的七座桥并回到起点。欧拉通过将陆地抽象为点，桥梁抽象为连接点的线，创造性地提出了图的概念，并证明了这个问题无解，由此开创了图论研究的先河。

图的基本术语顶点(Vertex)图中的点被称为顶点或节点。顶点通常用来表示实体，例如交通网络中的城市、社交网络中的人等。在数学表示中，我们通常用V(G)表示图G的顶点集合。边(Edge)连接两个顶点的线被称为边。边表示实体之间的关系，如城市间的道路、人与人之间的朋友关系等。边的集合通常表示为E(G)。路径与连通性路径是指连接两个顶点的一系列边。如果从任意顶点可以通过路径到达任意其他顶点，则称该图是连通的。回路是指起点和终点相同的路径。

静态图结构分类无向图边没有方向，表示双向关系。如道路网络中的双向通行道路。有向图边有特定方向，表示单向关系。如社交网络中的关注关系，A关注B不意味着B关注A。简单图不含自环（连接顶点到自身的边）和平行边（连接相同两个顶点的多条边）的图。多重图允许存在多条连接相同顶点对的边。如城市间的多条航线。带权图边上带有权值的图，用于表示距离、成本等度量。如城市间的距离或交通费用。

图的表示方法邻接矩阵使用一个n×n的矩阵A表示图，其中A[i][j]=1表示顶点i和j之间有边，A[i][j]=0表示没有边。对于带权图，A[i][j]可存储权值。空间复杂度：O(n2)适用于稠密图查询边的时间复杂度：O(1)邻接表对每个顶点维护一个链表，存储与其相连的所有顶点。这种表示方法更节省空间，尤其对于稀疏图。空间复杂度：O(n+e)适用于稀疏图查询边的时间复杂度：O(度)边集数组使用一个数组存储所有的边，每条边包含起点、终点和权值（如果有）。这种方法简单但不利于查询。空间复杂度：O(e)适合某些特定算法如Kruskal查询边的时间复杂度：O(e)

边的分类与性质桥与割边如果删除某条边会导致图的连通分量数增加，则该边称为桥或割边。桥在网络设计中具有重要意义，因为它们代表了潜在的单点故障。树边在图的生成树中的边称为树边。在深度优先有哪些信誉好的足球投注网站(DFS)中，树边是沿着有哪些信誉好的足球投注网站路径前进的边，构成了DFS树的骨架。后向边在DFS中，连接当前顶点到其祖先的边称为后向边。后向边的存在表明图中存在环路，这对于检测循环依赖非常重要。欧拉边与汉密尔顿边欧拉路径是指恰好经过图中每条边一次的路径，而汉密尔顿路径是指恰好经过图中每个顶点一次的路径。这两类边在路径规划和网络设计中有广泛应用。

图的基本性质阶数与边数关系对于无向图，所有顶点的度数之和等于边数的两倍，即∑deg(v)=2|E|。这是因为每条边连接两个顶点，因此在计算度数和时被计算了两次。度序列与哈拉里定理图的度序列是所有顶点度数的非递增排列。哈拉里定理给出了一个序列能否作为简单图的度序列的必要条件：度数和必须是偶数，且满足特定的不等式约束。连通分量连通分量是图中的极大连通子图。对于无向图，如果两个顶点间存在路径，则它们在同一连通分量中。连通分量的数量反映了图的分割程度。图的这些基本性质为我们提供了分析和理解图结构的工具。例如，通过度序列可以快速判断图的密度和结构特征；连通分量分析可以帮助我们识别网络中的独立子系统；而阶数与边数关系则是许多图论算法的基础。在实际应用中，这些性质有助于我们设计更高效的算法和更优化的网络结构。

特殊类型1：树与森林树无环连通无向图森林由若干棵不相交的树组成生成树包含图中所有顶点的树子图树是图论中最基本也最重要的结构之一。一个具有n个顶点的树恰好有n-1条边，这是树的一个基本性质。如果一个连通图有n个顶点和n-1条边，那么它必定是一棵树。森林是树的自然扩展，由多个不相连的树组成。对于有n个顶点、k个连通分量的森林，它恰好有n-k条边。这个性质可以用来快速判断一个图是否为森林。生成树在网络设计中尤为重要，它提供了连接所有节点的最经济方式。最小生成树算法如Kruskal和Prim就是基于这一概念，寻找总权重最小的生成树，广泛应用于通信