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19.3课题学习教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
核心知识模块:
一次函数定义与解析式求解:理解形如y=kx+
分段函数建模:针对不同区间建立对应函数表达式
决策优化方法:通过联立方程求临界值,结合函数图象进行方案比较
课题学习案例:
案例1:上网收费方案选择(建立分段函数模型)
案例2:租车费用优化(多变量决策分析)
2.内容解析
一次函数是描述匀速变化现象的核心工具,在解决方案优化问题时具有以下逻辑链条:
变量识别:从实际问题中提取自变量(如上网时间x)和因变量(费用y)
模型建立:根据收费规则建立分段函数y
对比分析:通过求交点解方程k1
决策判断:根据函数图象的上下位置关系选择最优区间
例如在上网收费方案选择中,当比较方案A(yA=3x?45)与方案B(y
二、目标和目标解析
1.目标
能根据实际问题建立一次函数模型,解释参数的实际意义(数学建模)
会通过联立方程求函数交点,并用数轴划分决策区间(几何直观)
能综合运用代数运算与图象分析进行方案优化(数据分析)
体会函数模型在解决生活决策问题中的价值(应用意识)
2.目标解析
达标表现1:学生能正确写出教材P102表1913中三种上网收费方案的分段函数表达式,说明30元、50元等常数的实际含义
达标表现2:当给出两种收费方案y=0.5x+
达标表现3:在租车问题中,能列出总费用函数y=400x+
达标表现4:能列举生活中类似案例(如套餐选择、快递运费计算)说明函数模型的应用价值
三、教学问题诊断分析
预测学习障碍:
分段函数建模困难:学生容易混淆不同区间的定义域,如将超时费计算错误写成0.05x?25
收费规则
数学表达式
超时费0.05元/分钟
0.05×
超过25小时部分收费
3
临界值理解偏差:部分学生会错误认为当yA=y
多变量处理失当:在租车问题中,学生可能忽略总车辆数a=6的前提条件
解决策略:采用分步问题链引导:
(1)计算最少需要几辆车:24045≈5.33→至少6辆
(2)考虑每辆车至少有1名教师:6名教师→最多6辆
四、教学过程设计
(一)情景引入(15分钟)
生活情境:展示三大运营商5G套餐对比表
复制
套餐A:月租58元,含30GB流量,超出后5元/GB套餐B:月租88元,不限流量但达100GB后降速套餐C:无月租,按1元/GB计费
问题链驱动:
变量识别:
影响话费的主要因素是什么?(预设回答:使用流量xGB)
哪些是固定成本?哪些是可变成本?(月租费是固定成本,超量费是可变成本)
模型建立:
以套餐A为例,引导学生写出分段函数:
y
强调单位一致性(x的单位与套餐包含流量单位一致)
认知冲突:
如果小明上月用了28GB,小红用了35GB,分别该选哪个套餐?
通过具体数值计算引发思考:
小明:yA=58元,y
小红:yA=58+5×5
(二)合作探究(40分钟)
探究1:上网收费方案建模(教材P102问题1)
步骤1:条件分析
展示收费表并提问:
方案A的超时费0.05元/分钟,换算成小时费率是多少?
关键计算:0.05×
步骤2:分段函数建构
分组完成三种方案的表达式:
方案A:
y
方案B:
y
方案C:
y
步骤3:图象分析
用不同颜色绘制三个函数的图象:
方案A:25小时前水平线,之后以斜率3上升
方案B:50小时前水平线,之后以斜率3上升
方案C:水平直线y=120
关键讨论:
为什么方案A和B的直线部分斜率相同?(超时费率相同)
当x=80时,三个方案费用分别是多少?
yA=3×80?45=195
探究2:租车费用优化(教材P103问题2)
约束条件分析:
人数约束:234学生+6教师=240人,甲种客车载45人,乙种客车载30人
费用约束:总费用≤2300元
教师分配:每辆车至少1名教师→车辆数≤6
模型建立:
确定车辆总数a:
最少车辆数:24045≈
教师约束:6辆车→a=6
设甲种客车x辆,则乙种客车为(6x)辆
总费用函数:
y
载客量约束:
45x
费用约束:
120x
决策分析:
x的取值范围为4≤x≤5,即两种方案:
方案1:x=4(甲4辆,乙2辆),费用=120×4+1680=2160元
方案2:x=5(甲5辆,乙1辆),费用=120×5+1680=2280元
为什么x=5的方案费用更高但依然可行?(虽然费但需载客量验证:45×5+30×1=255≥240)
(三)典例分析(25分钟)
例题1(上网方案优化)
问题:若新增套餐D:月费70元含40小时,超时费2元/小时,确定优选区间
解析步骤:
建立函数:
y
与方案B比较:
当x50时,yB=3x?
3x
当50x90时,y
当x90时,y
综合决策图:
最终分区:
x31.67选A
31.6
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