江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期2月检测数学试题（含答案解析）.docx

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江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期2月检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知函数，则（????）

A． B． C． D．

2．函数的导数为（???）

A．

B．

C．

D．

3．已知函数，则（???）

A．6 B．3 C． D．

4．如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（????）

????

A． B． C． D．

5．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（???）

A． B． C． D．

6．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．关于函数，下列结论正确的是（????）

A．函数的定义域为 B．函数在上单调递增

C．函数的最小值为，没有最大值 D．函数的极小值点为

8．已知函数那么下列说法正确的是（????）

A．，在点处有相同的切线

B．函数有一个极值点

C．对任意恒成立

D．，的图象有且只有两个交点

三、填空题

9．已知函数，，则的最小值为.

10．已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为.

11．已知函数，且，则实数的取值范围是.

四、解答题

12．已知函数，且当时，有极值－5．

(1)求的值；

(2)求在上的值域．

13．函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围.

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《江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期2月检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

D

A

A

D

BD

BD

1．A

【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得.

【详解】因为，所以，则，

所以.

故选：A

2．B

【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.

【详解】

．

故选：B.

3．D

【分析】根据函数的求导公式及运算法则化简得解.

【详解】因为，

所以，

所以，即，

所以，

所以，

故选：D

4．A

【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率.

【详解】

??

设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得，

,则，即，

则由，解得.

由，当时，，

即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.

故选：A.

5．A

【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围.

【详解】由题设，令，

则，

当或时，，则在和上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

，且时趋向，时趋向，

要使函数既有极大值又有极小值，

即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，

所以.

故选：A

6．D

【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得.

【详解】函数，求导得，

由函数在上存在单调递减区间，得在上有解，

即不等式在上有解，

而函数在上单调递减，当时，，则，

所以的取值范围是.

故选：D

【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.

7．BD

【分析】对于A，注意到可知，由此可判断；

对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；

对于C，举反例排除即可；

对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.

【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；

对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；

对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；

对于D，令，得或，所以在和上单调递减，

令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.

故选：BD.

8．BD

【分析】对于A，利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B，构造新函数，用导数判断极值点即可，对于C，举反例否定即可，对于D，先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可.

【详解】对于A，，，，故A错误.

对于B，令，，

令，，令，，

所以在上单调递减；在上单调递增，

所以有极小