第7章 动量矩定理.ppt

第七章

动量矩定理

§1质点和质点系的动量矩

1．质点的动量矩

对点O的动量矩

对z轴的动量矩

等于对点O的矩。

是代数量，从z轴正向看，逆时针为正，顺

时针为负。

单位：kg·m2/s

2．质点系的动量矩

对点的动量矩

对轴的动量矩

即

3．几种刚体的动量矩

（1）刚体平移。可将全部质量集中于质心，

作为一个质点来计算。

，

（2）刚体绕定轴转动

转动惯量

§2动量矩定理

1．质点的动量矩定理

设O为定点，有

其中：

（O为定点）

因此

称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对

时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。

投影式：

2.质点系的动量矩定理

由于

得

称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O

的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的

外力对于同一点的矩的矢量和。

投影式：

内力不能改变质点系的动量矩。

例1已知：小车，不计摩擦。

求小车的加速度。

解：

由，，得

例3：已知，，，，，，不计摩擦。

求（1）

（2）O处约束力

（3）绳索张力，

解：（1）

由，得

（2）由质心运动定理

（3）研究

（4）研究

3．动量矩守恒定律

若，则常矢量；

若，则常量。

例：面积速度定理

有心力：力作用线始终通过某固定点，

该点称力心。

由于，有

常矢量

（1）与必在一固定平面内，即点M的运动

轨迹是平面曲线。

（2）常量

即常量

由图，

因此，常量

称面积速度。

例4两小球质量皆为，初始角速度。

求：剪断绳后，角时的。

解：时，

时，

由，得

§3刚体绕定轴的转动微分方程

主动力：

约束力：

即：

或

或

例5：已知：，求。

解：

例6物理摆（复摆），已知，求微小

摆动的周期。

解：

微小摆动时，

即：

通解为

称角振幅，称初相位，由初始条件确定。

周期

例7：已知，动滑动摩擦系数，

求制动所需时间。

解：

例8：已知，求：。

解：

因，，得

§4刚体对轴的转动惯量

单位：kg·m2

1.简单形状物体的转动惯量计算

（1）均质细直杆对一端的转动惯量

由，得

（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量

（3）均质圆板对中心轴的转动惯量

式中：

或

2.回转半径（惯性半径）

或

3．平行轴定理

式中轴为过质心且与轴平行的轴，为

与轴之间的距离。

即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对

于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加

上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。

证明：

因为

有，得

例9：均质细直杆，已知。

求：对过质心且垂直于杆的轴的转动惯量。

解：对一端的轴，有

则

要求记住三个转动惯量

（1）均质圆盘对盘心轴的