中考数学几何模型决胜88招模型43 婆罗摩笈多模型.docx

模型43婆罗摩笈多模型

跟踪练习

1.如图1,已知点A(2,0)和点B(0,4)，以B为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC.

(1)在y轴上是否存在一点M，使得MA+MC最小，若存在，请画出点M(保留画图痕迹).

(2)求点C的坐标.

(3)如图2，若P点为y轴正半轴上的一个动点，分别以AP，OP为腰在第一象限、第二象限作等腰直角三角形APE和等腰直角三角形OPD,连接ED交y轴于点N,当点P在y轴正半轴上移动时，求PN的长度.

2.如图1,图2,图3,在△ABC中,分别以AB,AC为边向外作Rt△ABE和Rt△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,则有下列结论:

(Ⅰ)如图1,S

(Ⅱ)如图2,若AM是边BC上的中线,则ED=2AM;

(Ⅲ)如图3,若AM⊥BC,则MA的延长线平分ED于点N.

(1)从上述的三个结论中选择一个你感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；

(2)能力拓展:如图4,△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,连接BD,CE,若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF=CE.

3.【感知】如图1,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°,求证:AE

【探究】如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且EFEG

【拓展】如图3，点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且AEEB

4.阅读下列相关材料，并完成相应的任务.

布拉美古塔定理

婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，编著了《婆罗摩修正体系》.他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”.定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证.

已知：如图，在圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为P，过点P作AB的垂线分别交AB,DC于点H,M.

求证：M是CD的中点.

任务：

(1)请你完成这个定理的证明过程.

(2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边.请判断此命题是命题.(填“真”或“假”)

(3)若1PD=2,HP=3,BP=3,则MH的长为

模型进阶

跟踪练习

【几何模型】如图1,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r?，r?，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC,即

【模型应用】

(1)如图2，在边长为3的正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，且BE=BC,F为CE上一点,FM⊥BC于点M,FN⊥BD于点N,试利用上述结论求出FM+FN的长.

(2)如图3，如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即已知等边三角形ABC内任意一点P到各边的距离分别为r?，r?，r?，等边三角形ABC的高为h，试证明r

(3)若正n边形.A1A2?

2.(1)如图1,E,F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF,则BG与BC的数量关系是.

(2)如图2，D，E是等腰三角形ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE,连接DE交BC于点F,DG⊥BC交BC于点G,试判断GF与BC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,已知矩形ABCD的一条边AD=4,将矩形ABCD沿过A的直线折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处.动点M在线段AP上(点M与点P,A不重合),动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥PB于点E,且EF=5

3.【问题情境】

(1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图1，在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF

请你从小明、小颖的两种证明思路中任选择一种，写出详细的证明过程.

【变式探究】

(2)如图4,当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证:PD-PE=CF.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两个数学问题.

【结论运用】

(3)如图5,将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，