矩阵基础及多元线性回归模型.pptxVIP

1矩阵代数概述

2矩阵(matrix)就是一个矩形数组。m?n矩阵就有m行和n列。m称为行维数，n称为列维数。可表示为：矩阵

3方阵、行向量、列向量STEP03STEP01STEP02方阵：具有相同的行数和列数的矩阵。一个方阵的维数就是其行数或列数。行向量：一个1?m的矩阵被称为一个(m维)行向量。列向量：一个n?1的矩阵被称为一个(n维)列向量。

4对角矩阵、单位矩阵和零矩阵对角矩阵单位矩阵零矩阵

5矩阵的运算加法：数乘：两矩阵相乘：A为m?n阶矩阵B为n?p阶矩阵

6矩阵运算的性质（1）?和?是实数，矩阵A、B、C具有运算所需的维数

7矩阵运算的性质（2）?和?是实数，矩阵A、B、C具有运算所需的维数

8矩阵的转置、对称矩阵矩阵A的行与列互换称为A的转置矩阵，用A’表示x是n?1维向量转置矩阵的性质：一个方阵A是对称矩阵的充要条件A=A’

9迹单击此处添加小标题对任意一个n?n的矩阵A，A的迹tr(A)定义为其主对角线元素之和。单击此处添加小标题迹的性质：其中，A为n?m矩阵，B为m?n矩阵单击此处添加小标题

10矩阵的逆对一个n?n的矩阵A，如果存在矩阵B，使得BA=AB=In则称B为矩阵A的逆，用A-1表示。如果A有逆矩阵，则称A是可逆的或非奇异的；否则，称A是不可逆的或奇异的。

11矩阵逆的性质如果一个矩阵的逆存在，则它是唯一的若??0且A可逆，则如果A和B都是n?n可逆矩阵，则

12矩阵的行列式01|A|=?(-1)ta1p1a2p2…anpn添加标题02其中，t为p1p2….pn的逆序数。添加标题给定一个n?n的方阵，A的行列式，记为|A|，定义为：

13因此，|A|=21-4+16-10+15-42=-4例：求下列矩阵A的行列式解：根据行列式定义，可得：

14求方阵的逆矩阵（1）余子式：将n?n的方阵A的第i行和第j列去掉，所剩下的子矩阵的行列式叫做元素aij的余子式，记为|Mij|例如：

15求方阵的逆矩阵（2）余因子(代数余子式)：将n?n的方阵A的元素aij的余因子，记为cij，定义为cij=(-1)i+j|Mij|余因子矩阵：将方阵A的元素aij代之以其余因子，则得到A的余因子矩阵，记为cofA。伴随矩阵：余因子矩阵的转置矩阵称为A的伴随矩阵，记为adjAadjA=(cofA)’

16求方阵的逆矩阵（3）如果A是方阵且是非退化的矩阵（即|A|?0），则A的逆矩阵的计算公式为：

17例：求下列矩阵A的逆阵

18Step1:求|A||A|=-24Step2:求A的余因子矩阵cStep3:求A的伴随矩阵，即c’Step4:解：

19向量组的线性相关令x1,x2,…,xr是一组维数相同的向量，若存在不全为零的实数?1,?2,…,?r使得则称向量组{x1,x2,…,xr}是线性相关的；否则，称{x1,x2,…,xr}是线性无关的。

20矩阵的秩令A是一个n?m的矩阵，则A中线性无关的最大列向量称为A的秩，即为rank(A)。若rank(A)=m，则称为列满秩秩的性质：行秩＝列秩=rank(A)(即：rank(A’)=rank(A))如果A是一个n?k矩阵，则rank(A)?min(n,k)

21令A为n?n对称矩阵。(1)如果对除x=0外的所有n?1向量x，都有x’Ax0，则称A为正定的。(2)如果对除x=0外的所有n?1向量x，都有x’Ax?0，则称A为半正定的。正定和半正定矩阵的性质：(1)正定矩阵的主对角元素都严格为正，半正定矩阵的主对角元素都非负；(2)A是正定的，则A-1存在并正定；(3)如果X是一个n?k矩阵，则X’X和XX’都是半正定的；正定和半正定矩阵#2022

22幂等矩阵令A为n?n对称矩阵。如果AA=A，则称A是幂等矩阵。幂等矩阵的性质：令A为n?n幂等矩阵rank(A)=tr(A)A是半正定的。

23矩阵微分对于一个给定的n?1向量a，对所有n?1向量x，定义线性函数f(x)=a’x，则f对x的导数是1?n阶偏导数向量a’，即：对一个n?n的对称矩阵A，定义单击此处添加小标题则单击此处添加小标题why?单击此处添加小标题why?单击此处添加小标题

24方差-协方差矩阵如果y是一个n?1随机向量，用var(y)（或cov-var(y)）表示的y的方差-协方差矩阵定义为：其中?j2=var(yj),?ij=var(yi,yj)显然，?ij=var(yi,yj)=var(yj,yi)=?ji，故var(y)对称。

25第三章经典单方程计量经济学模型：多元回归添加标题多元线性回归模型添加标题多元线性