上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷（解析版）.docx

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数学调研卷

（考试时间120分钟，满分150分）

一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.)

1.设，则不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

【分析】解含绝对值的不等式可得解集.

【详解】由.

所以不等式的解集为：.

故答案为：

2.若是首项为2，公差为3的等差数列，则_______.

【答案】11

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式求值即可.

【详解】由题意：，

所以.

故答案为：11

3.二项式的展开式中，项的系数为_______________.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：展开式的通项为，令，则，所以的系数为.

考点：二项式定理.

4.已知一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1，则这组数据的中位数为________.

【答案】3.55

【解析】

【分析】利用中位数定义直接计算可得结果.

【详解】显然这组数据共6个数，且已经按照从小到大的顺序排好，

因此这组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即.

故答案为：3.55.

5.在中，若，，，则的长为_______.

【答案】

【解析】

【分析】由余弦定理即可求解；

【详解】，

所以,

故答案为：

6.实数满足，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式直接求得.

【详解】因为实数满足，

所以由基本不等式可得：（当且仅当时等号成立），

所以.

即的最大值为.

故答案为：.

7.双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为_______.

【答案】##

【解析】

【分析】先根据双曲线的定义求，再根据的关系求，再利用求双曲线的离心率.

【详解】根据双曲线的定义可得：，所以.

又，所以.

所以双曲线的离心率为：.

故答案为：

8.为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为________.

【答案】##

【解析】

【分析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，根据条件，利用古典概率公式求得，，再由条件概率公式，即可求解.

【详解】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，

因为，，所以，

故答案为：.

9.设，已知，若，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案.

【详解】若，即时，，可得；

若，即时，，可得，不符合前提；

综上，的取值范围为.

故答案为：

10.在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，设斜三棱柱的高为，，可得，得解.

【详解】设斜三棱柱的高为，，

则，，

，则.

故答案为：.

11.如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01)

【答案】

【解析】

【分析】先设角表示相关长度，求出面积表达式，利用三角恒等变换及导数求最值及相应角度.

【详解】设，则，由题意知，

则，

如图，连接.

在中，，则，；

中，同理可得，；

故四边形的面积

，.

令，，即.

由，则，

令，则，即，

解得，由，

故不妨设，且，

当，即时，

，即，在单调递增；

当，即时，

，即，在单调递减；

故，即当时取到最大值.

由，可得，

则

.

此时，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于结合整体换元求解导数零点，进而研究三角函数单调性并求解最值.

12.设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可.

【详解】设方程表示的区域为，

用代换方程不变，可知区域关于y轴对称；

用代换方程不变，可知区域关于x轴对称；

当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示，

取，

可知区域为正方形及其内部，

设，点均在区域内，

因为，，即，，

可知点在线段上，

又因为，记为过点的线段的长度的最大值，

若求，不妨假