2024年北京大学强基计划数学试卷（全解析版.docx

2024年北京大学强基计划数学试卷

一、以下为理科数学试题，共20题。

1．求模7的余数．

2．求sin36°﹣sin3114°+sin3126°．

3．求1，2，…，8的排列的个数，使得排列中没有出现连续的12，…，78．

4．已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，求第2024项模5的余数．

5．求四元组（a1，a2，a3，a4）的个数，使得ai∈{1，2，3}，且10＜a1a2a3a4＜20．

6．求（0，2π]上方程2cosx＝sinx的解的个数．

7．求R上方程的解的个数．

8．求R上方程x2﹣13[x]+11＝0的解的个数．

9．在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为8个长方体的长方体个数的最小值．

10．在离心率为的椭圆中，F1，F2是两个焦点，P是椭圆上一点，且，求．

11．用S（n）表示正整数n的数码和，求满足S（n+1）（n）均为5的倍数的n的最小值．

12．称正整数n为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数m满足，求最大的好数的范围．

A．（0，1000） B．（1000，2000）

C．（2000，3000） D．以上都不对

13．在△ABC中，求cosAcosBcosC的最小值或下确界．

14．在△ABC中，若BC边上的高为，求的范围．

15．在△ABC中，若在BC上，比较AD2与2DC×DB的大小．

16．在△ABC中，若O为形外一点，满足∠BOC＝2∠BAC，且OB＝OC＝3，OD＝2

17．在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC，求∠C．

18．在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC，CD＝2，求△ABC的周长．

19．在△ABC中，求2sinA+sinB+sinC的最大值．

20．a1＝，an+1＝，求．

2024年北京大学强基计划数学试卷

参考答案与试题解析

一、以下为理科数学试题，共20题。

1．求模7的余数．

【答案】1．

【解答】解：∵19i≡（﹣i）（mod20），

∴

nbsp;（mod7），

上述中用到195≡1（mod7），

∵194﹣1＝20?18，

∴20?18?7|192022﹣3．

综上，模7的余数为1．

2．求sin36°﹣sin3114°+sin3126°．

【答案】．

【解答】解：因为sin3θ＝sin（θ+2θ）＝sinθcos6θ+cosθsin2θ＝sinθ（1﹣2sin2θ）+2sinθ（6﹣sin2θ）＝3sinθ﹣2sin3θ，

从而得到：，

则，

由于sin6°﹣sin114°+sin126°＝sin6°﹣sin（120°﹣8°）+sin（120°+6°）＝sin6°﹣sin8°＝0，

sin18°﹣sin342°+sin378°＝sin18°﹣sin（360°﹣18°）+sin（360°+18°）＝3sin18°，

所以，

因为cos3θ＝cos（θ+2θ）＝cosθcos2θ﹣sinθsin2θ

＝cosθ（2cos5θ﹣1）﹣2cosθ（8﹣cos2θ）＝4cos6θ﹣3cosθ，

因为sin36°＝cos54°，

所以2sin18°cos18°＝3cos318°﹣3cos18°，

即5sin218°+2sin18°﹣2＝0，

解得：或（舍去），

所以．

3．求1，2，…，8的排列的个数，使得排列中没有出现连续的12，…，78．

【答案】16687．

【解答】解：对有限集合T，记其元素个数为|T|，

在1，2，7，4，5，7，7，8的所有排列中i为所包含连续的i（i+3）的排列构成的集合，这里i＝1，2，3，4，5，4，7，

则对1≤i2≤i2≤…≤ik≤7（6≤k≤7）而言，

集合中的所有排列，

8﹣k个整体元素的全排列，从而|！，

∴由容斥原理即得：

|A1∪A2∪…∪A6|＝||

＝（8﹣k）!＝

＝?（5﹣k）?，

∴出现连续的12，23，45，78中之一的排列有23633个，

∴不出现连续的12，23，45，78的排列有8．

故答案为：16687．

4．已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，求第2024项模5的余数．

【答案】4．

【解答】解：设数列{an}满足a1＝1，a4＝2，a3＝6，a4＝3，a4＝3，a6＝6，a7＝4，a5＝4，a9＝8，a10＝4，…，

设f（k）＝1+3+3+…+k＝，

∴f（63）＝＝2016＝2080，

∴f（63）＜2024＜f（64），

∴a2024＝64．

64模7为4，

∴第2024项模5的余数7．

5．求四元组（a1，a2，a3，a4）的个数，使得ai∈{1，2，3}，且10＜a1a2a3a4＜20．

【答案】25．

【解答】解：因为ai∈{1，2，6}（i＝1，2，7，且10＜a1a2a8a4＜20，