（人教2019版）数学选修二 4.4 数学归纳法 大单元教学设计 .pdf

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：同学们，大家在生活中或许都有过这样的体验：在家里不小心犯了个小错，母就似乎觉得你

做什么都不对；或者，一旦发现有人欺骗了你，你就感觉周围人都不可信；再比如，做题时遇到第一道难

题解不出，就觉得自己所有题目都解答不了.其实，这些都是因为我们不自觉地用了“以偏概全”的思考方式，

也就是不完全归纳，这样的结论往往并不准确.而且，这样的思考方式还容易给我们自己贴上负面的心理

标签，对我们造成不必要的心理压力和伤害.今天，我们就一起来探讨如何克服这种心理障碍，学会更全

面、更客观地看待问题和自己吧！

环节二、抽象概念，内涵析

1.数学归纳法的理解

问题1：如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？

【破解方法】不能.从袋子里拿出5个小球并发现它们全部都是绿色的，并不能直接判断袋子里面的

小球都是绿色的.这是因为我们所看到的只是袋子中小球的一部分，而不是全部.这种基于部分观察来推

断整体的情况，就是不完全归纳.

在数学和逻辑学中，我们通常要求更严格的证明或证据来支持对整体的判断.仅仅因为拿出的5个小

球是绿色的，并不能保证袋子里剩下的所有小球也都是绿色的.可能袋子里还有其他颜色的小球，只是我

们这次没有拿到而已.

因此，要判断袋子里面的小球是否都是绿色的，我们需要更多的信息或证据，比如袋子中小球的总数、

各种颜色小球的比例，或者通过更全面的抽样来观察.在没有足够信息的情况下，我们不能轻易地下结论

说袋子里面的小球都是绿色的.

问题2：在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？

【破解方法】要确保在多米诺骨牌游戏中，每一块骨牌倒下都能引发下一块骨牌倒下，只需确保首块

骨牌被推倒，就能引发整串骨牌的连锁反应.这种推理方式，即通过确认一个初始情况，并证明每个后续

情况都基于前一个情况而成立，从而得出所有情况均正确的结论，被称为数学归纳法.尽管名字中含有“归

纳”，但这种方法实际上是一种严谨的证明手段，其结论具有确定性.简而言之，数学归纳法就是通过验证

首个案例，并证明每个案例都能引发下一个案例，从而确保所有案例均无误的推理过程.

【归纳新知】

1、数学归纳法定义：

对于某些与自然数〃有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当〃取第一个值』时命

题成立；然后假设当n=k（keN*,knj时命题成立，证明当%=k+l时命题也成立.这种证明方法就

叫做数学归纳法.

知识点诠释：

即先验证使结论有意义的最小的正整数/，如果当〃=/时，命题成立，再假设当U,knj

时，命题成立.（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当〃=化+1时，命题也成立，那

么就可以递推出对所有不小于〃。的正整数％+1，％+2,命题都成立.

2、数学归纳法的原理：

数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法.

它的证明共分两步：

①证明了第一步，就获得了递推的基础.

但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必

要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

②证明了第二步，就获得了递推的依据.

但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论.

其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续

性问题（又称传递性问题）.

3、数学归纳法的功能和适用范围

（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验

证和演绎推理相结合)过程.

(2)数学归纳法一般被用于证明某些与正整数〃(〃取无限多个值)有关的数学命题.但是，并不能

简单地说所有与正整数乃有关的数学命题都可使用数学归纳法证明.

问题3：数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么?你认为数学归纳法中的两个步骤有什么关系?

【破解方法】数学归纳法的第一步和第二步在逻辑上紧密相连，共同构成了证明与自然数有关命题的

强大工具.第一步确保了推理证明的起点正确无误，第二步则通过归纳递推将命题的正确性扩展到所有自

然数