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热力学与统计物理考试答案--第1页

证明题：

1.、根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

用反证法。假设两条绝热线如果能相交，再加上一条等温

线就可以组成一个循环（闭合曲线）。这个循环只在等温

过程从单一热源吸热，然后对外做功，显然违反了热力学

第二定律。所以，两条绝热线不可能相交。

2、将范式等温线对应的μ-p图花在其下方，并对此p-v图

进行说明，以及如何转化为实验等温线。

答：（1）在等温线上μ-μ0=∫Vmdp在p1＜p＜p2的范围

内，对应于一个p值μ值有三个可能的值，这与上图在p1

＜p＜p2的范围内，对应一个P值有三个可能的Vm值是相应

的，根据吉布斯函数判断，在给定P,T下，稳定平衡态的

吉布斯函数最小，因此OKBAMR上各点代表系统的稳定平衡

态

（2）B点和A点的μ值相等，正式在等温线的温度

和A,B两点压强下气，液两相的相变平衡条件，μB=μA这

相当于积分∫BNDJAVmdp=0根据等面积法则，将范式气体

等温线中的BNDJA换为直线BA就是实测等温线。

3、试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在

εεε

到+d的能量范围内，量子态数为D(ε)dε

=2L/h×(m/2ε)dε

解:根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体

积元dxdpx内可能的量子态数为:dxdpx/h

Lppp

在长度内，动量大小在到+d范围内（注意

动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为

2L/h×dp（1）

将能量动量关系:ε=p/2m代入，即得D(ε)dε

=2L/h×(m/2ε)dε（2）

Vε+

4、试根据式（6.2.13）证明：在体积内，在到εdε

εε=2

的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D()dπ

V/h×(2m)εε

d

VLpxpxpx,py

解:式（6.2.13）给出，在体积=内，在到+d

pypy,pxpxpx

到+d到+d的动量范围内，自由粒子可能的量

子态数为V/h×dpxdpydpz（1）

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向