专题12.9 角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题12.9角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】角的平分线的性质

(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

(2)符号语言：

OC平分∠ADB，

又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，

PE=PF

【知识点二】角的平分线的判定

(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

(2)符号语言：

PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，

又PE=PF

OC平分∠ADB，

【知识点三】角的平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明

【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）求证：；

【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

（1）证明，即可证明结论成立；（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．

（1）证明：∵，

∴

，

∴

∵

（2）证明：∵，

∴

平分，，

【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（????）

A．18 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．

过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案．

解：过点作，如图所示：

平分，点是射线上一点，于点，，

由角平分线性质可得，

点射线上的一个动点，连接，

由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，

综合四个选项可知，的长度不可能是，

故选：D．

【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为．

【答案】30

【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．

解：过O作于M，于N，连接，

∵点O到边的距离为3，

∴，

∵的周长为20，

∴

∵，的平分线交于点O，，，

∴，

∴

，

故答案为：30．

【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明

【例2】如图，于于F，若，??

（1）求证：平分；

（2）已知，求的长．

【答案】(1)见详解(2)12

【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案．

（1）证明：∵，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴平分；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【变式1】如图，在中，，，，若，则的度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数．

解：如图，作于点E，作于点F，

∵，

∴．

∵，，

∴

∴，

∴是的平分线．

∴．

故选C．

【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则．

【答案】

【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分；

过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答．

解：过点E作，如图所示：

三角形的外角和的平分线交于点E，

，

，

，

平分，

，

故答案为：．

【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值

【例3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程．

【答案】(1)见详解(2)见详解(3)②

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．

（1）欲证明，只要证明；

（2）由，推出，由可得；

（3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可．

（1）证明：∵

∴

即

在