第六课时 奔驰定理（学生版）(2)(5).pdfVIP

奔驰定理与三角形的四心问题

一讲奔驰定理与三角形的四心问题

第

知识梳理

1．奔驰定理：

如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC0．

【证明】：如图，延长AP与BC边相交于点则D

BDSSS-SS

△ABD△BPD△ABD△BPD△PAB

====，

DCS△ACDS△CPDS△ACD-S△CPDS△PAC



DCBD

∵PD=PB+PC，

BCBC

S△PACS△PAB

∴PD=PB+PC，

S+SS+S

△PAC△PAB△PAC△PAB

PDSSS+SS

△BPD△CPD△BPD△CPD△PBC

∵====，

PASSS+SS+S

△BPA△CPA△BPA△CPA△PAC△PAB

S△PBC

∴PD=-PA，

S+S

△PAC△PAB

S△PBCS△PACS△PAB

即-PA=PB+PC，

S+SS+SS+S

△PAC△PAB△PAC△PAB△PAC△PAB



∴S·PA+S·PB+S·PC=0．

△PBC△PAC△PAB

推论①：若O为ΔABC内一点，且满足λOA+λOB+λOC=0，则△AOB、△AOC、

△BOC的面积之比等于λ:λ:λ123

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奔驰定理与三角形的四心问题

【证明】：如图所示：



令λOA=OA，λOB=OB，λOC=OC，即满足OA+OB+OC=0

123

