中南大学《线性代数》课件-第4章特征值与特征向量.pptVIP

k个利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.证明注意：该定理的逆定理并不成立，即具有相同特征多项式（或特征值）的两个矩阵并不一定相似.但有相同特征值的两个矩阵若它们都可对角化，则它们相似.例但推论若阶方阵A与对角阵证明三、利用相似变换将方阵对角化命题得证.如果阶矩阵的个特征值互不相同，则与对角阵相似．推论如果的特征方程有重根，但如果能找到个线性无关的特征向量,还是能对角化．A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．例3解例4２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之相似的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系.第四章特征值与特征向量第四章二、特征值与特征向量的概念四、小结一、正交矩阵与正交变换三、特征值与特征向量的性质《线性代数》证明定义定理一、正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是正交的单位向量组．说明：由上述定理可知：性质正交变换保持向量的内积﹑长度及夹角不变．证明定义若为正交阵，则线性变换称为正交变换，即正交矩阵的性质：说明二、特征值与特征向量例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得证明：证明则即类推之，有三、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值．例1解例2设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：解方法一方法二方法三例4设A是阶方阵，其特征多项式为解1．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：四、小结2.正交矩阵的性质：3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：思考题解第三节相似矩阵与矩阵对角化第四章二、相似矩阵与相似变换的性质四、小结一、相似矩阵与相似变换的概念三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念1.矩阵的相似是一种等价关系，具有性质：二、相似矩阵与相似变换的性质