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一、凸函数与极值相关理论
众所周知,有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值,但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说,它的最大(小)值有着一些特殊的性质。
定理1设是一非空有界闭凸集,是凸函数。
(ⅰ)若是在上的局部极小值,则是在上的最小值;
(ii)若是严格凸函数,则它在上的最小值点是唯一的。
证明:(i)若是的一个局部极小值点,则存在的一个邻域,对于,有
.
从而有
又由是凸函数,故有
移项即可得,,故在上取最小值;
(ii)假设在上的两点,取到最小值,即
.
因是凸集,故对于.
又由是严格凸的,则有
这与在上取最小值矛盾。
定理2有界闭凸集上的凸函数必在
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