2024_2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用2.2第1课时函数的导数与极值学案新人教B版选择性必修第三册.docVIP

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第1课时函数的导数与极值

学习任务

核心素养

1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)

2．会求函数的极值．(重点)

3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点)

1．通过学习函数的极值、极值点等概念，培育数学抽象素养．

2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养．

在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它肯定是其旁边的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它肯定是旁边的最低点．对于连续函数，有类似的性质．

“极大”与“微小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，假如没有比它更大的事物存在，就叫作最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是微小．

学问点1函数的极值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，假如对于x0旁边的随意不同于x0的x，都有

(1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；

(2)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个微小值点，且f(x)在x0处取微小值．

极大值点与微小值点都称为极值点，极大值与微小值都称为极值．明显，极大值点在其旁边函数值最大，微小值点在其旁边函数值最小．

1．极大值肯定比微小值大吗？

[提示]不肯定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它旁边的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与微小值之间无法确定大小关系．

1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点，有四个微小值点

B．有三个极大值点，两个微小值点

C．有两个极大值点，两个微小值点

D．有四个极大值点，无微小值点

C[设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得微小值．]

学问点2函数的导数与极值

一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0．

(1)假如对于x0左侧旁边的随意x，都有f′(x)0，对于x0右侧旁边的随意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)的极大值点．

(2)假如对于x0左侧旁边的随意x，都有f′(x)0，对于x0右侧旁边的随意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)的微小值点．

(3)假如f′(x)在x0的左侧旁边与右侧旁边均为正号(或均为负号)，则x0肯定不是y＝f(x)的极值点．

2．“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？

[提示]“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点．

2．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点．

0极大[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0，1是函数f(x)的极大值点．]

类型1求函数的极值或极值点

【例1】求下列函数的极值．

(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；

(2)f(x)＝x2－2lnx．

[解](1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1．

当x改变时，f′(x)与f(x)的改变状况如下表：

x

(－∞，－2)

－2

(－2，1)

1

(1，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

↗

极大值21

↘

微小值－6

↗

所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；

当x＝1时，f(x)取微小值－6．

(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2(x＋1)(x－1),x)，

令f′(x)＝0，

得x1＝1，x2＝－1(舍去)．

当x改变时，f′(x)与f(x)的改变状况如下表：

x

(0，1)

1

(1，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

↘

微小值1

↗

因此当x＝1时，f(x)有微小值1，无极大值．

求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)利用f′(x)与f(x)随x的改变状况表，依据极值点左右两侧单调性的改变状况求极值．

[跟进训练]

1．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．

(1)求a，b的值；

(2)探讨f(x)的单调性，并求f(