2024年高考数学一轮复习考点规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析新人教A版文..docxVIP

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考点规范练32二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题

基础巩固

1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为()

A.2 B.1 C.3 D.0

答案:B

解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)0,

即b-78(b-2)0,解得

则b应取的整数值为1.

2.设变量x,y满意约束条件x+y≤5,2x-y≤4

A.6 B.19 C.21 D.45

答案:C

解析:作出不等式组x+y

由x+y=5,

由z=3x+5y,得y=-35x+z

由图可知,当直线y=-35x+z5过点A时,z5最大,即

所以z的最大值zmax=3×2+5×3=21.

3.(2024浙江,3)若实数x,y满意约束条件x-3y+1≤0,x+

A.(-∞,4] B.[4,+∞)

C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)

答案:B

解析:首先作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分).

令z=0,画出初始目标函数表示的直线y=-12x,由图象可知,不等式组表示的平面区域是两条直线相交形成的开放区域,当平移直线y=-12x过点A时,z

联立x-3y+1=0,x

zmin=2+2×1=4.

所以z=2x+y的取值范围是[4,+∞).故选B.

4.如图,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()

A.32 B.

C.2 D.5

答案:B

解析:直线y=-ax+z(a0)的斜率为-a0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.

∵kAC=-12,∴-a=-12,即a=

5.已知实数x,y满意x≥0,x-2y≥0

A.0 B.a C.2a+1 D.-1

答案:D

解析:由约束条件x≥0,

化目标函数z=ax+y(a0)为y=-ax+z,

由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.

6.若直线y=2x上存在点(x,y)满意约束条件x+y-3≤0,

A.-1 B.1 C.32 D.

答案:B

解析:可行域如图阴影所示,由y=2x,x+y-3=0,得交点

7.已知实数x,y满意条件x≥2,x+y≤4,-

答案:10

解析:画出x,y满意的可行域(阴影部分),如下图,

可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y

代入3x+y=5得6+4-c=5,

即c=5.

由x+y=4,

当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.

8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.?

答案:27

解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.

由题意得x≥0,

由图可知当y=-53x+z3经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=

9.已知实数x,y满意x-2y+4≥0,2x+y

答案:4

解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+

因此x2+y2的取值范围是45

实力提升

10.已知x,y满意约束条件x+y-2≤0,x-

A.12或-1 B.2或

C.2或1 D.2或-1

答案:D

解析:(方法一)由题中条件画出可行域(阴影部分),如图所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),

则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,

要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zBzC或zA=zCzB或zB=zCzA,解得a=-1或a=2.

(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.

11.若不等式组x+y-2≤0,x+2

A.-3 B.1 C.43 D.

答案:B

解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m2,即m-1.这时平面区域为△ABC.

由x+y-2=0,x

由x

解得x

则B(1-m,1+m).

同理C2-4m3,2+2m3

S△ABC=S△AB