山西省名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学（解析版）.docx

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高二期末联考数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知数列，则该数列的第211项为（）

A. B.421 C. D.423

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知数列写出一个通项公式，再求出第211项.

【详解】该数列的通项公式为，

所以.

故选：B

2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）

A. B.10 C. D.100

【答案】B

【解析】

【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求.

【详解】由题意得，则，

故选：B.

3.已知数列满足，其前项和为，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求.

【详解】因为是周期为4周期数列，且，

所以，则.

故选：C

4.若直线与互相平行，则（）

A. B.3 C.或3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由平行关系得到，求解并验证即可；

【详解】由题意知，所以或.

当时，两直线重合，不符合题意；

当时，两直线平行.

故选：A

5.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（）

A.210 B.209 C.211 D.207

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知有，应用累加法求通项公式，进而求.

【详解】因为，

所以，则.

故选：B.

6.经过点所作曲线的切线有（）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【答案】C

【解析】

【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可.

【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为.

将代入，得.

因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，

所以方程共有3个不同的根，

即经过点所作曲线的切线有3条.

故选：C.

7.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】取的中点，证得平面，进而建系，利用异面直线夹角向量法求解即可；

【详解】取的中点，连接，则，因为平面平面，

且平面与平面交于，所以平面.

如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设，

则，，，，所以，，

所以点到直线的距离，

解得.因为，，

所以，

即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D

8.已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值.

【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则.

令，则，

当，即时，取到最大值，此时.

不妨设，因为双曲线的焦点坐标为，

所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得.

设该双曲线的离心率为，则，所以.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列导数运算正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果.

【详解】令，，

因为，，所以，故A正确；

因为为常数，所以，故B错误；

令，，

因为，，所以，故C正确；

因为，所以，故D错误.

故选：AC.

10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（）

A.直线与圆相离

B.过点的直线被圆截得的弦长的最小值为

C.

D.从点向圆引切线，切线长的最小值