平面问题的有限单元法.pptVIP

1选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：2位移模式必须在单元内连续，并且两相邻单元间的公共边界上的位移必须协调；3位移模式必须包括单元的刚体位移；4位移模式必须包含单元的常应变状态。例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。*由三角形的面积*5.3.3单元分析（略）对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。结点位移12结点力考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：任意虚设位移，结点位移与内部应变为*令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为*根据虚功原理，得01这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。02虚应变可以由结点虚位移求出：03代入虚功方程04令令S=DB，称为应力矩阵。有则接上式，将应力用结点位移表示出由此，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，[K]e称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。把单元刚度方程写成分块矩阵的形式，有01单元刚度矩阵中某一子矩阵（或元素）kij的物理意义为：当j节点产生单位位移而其它节点被完全约束时，在i节点处产生的节点力。02单元刚度矩阵的性质*单元刚度矩阵是对称阵01单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。02单元刚度阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚度阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解只能得到唯一的节点力解。03单元刚度阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。单元分析的步骤可表示如下：单元综合*01将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。02i点总的结点力应为：根据结点的平衡条件，得单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。5.3.4总体刚度矩阵*1得到了单元刚度矩阵后，要将单元组成一个整体结构，根据结点载荷平衡的原则进行分析，即整体分析。2整体分析包括以下4个步骤：3建立整体刚度矩阵，4根据支承条件修改整体刚度矩阵，5解方程组，求出结点的位移，6根据结点位移，求出单元的应变和应力。整体刚度矩阵的形式*整体刚度矩阵[K]是单元刚度矩阵[K]e的集成。1刚度集成法的物理概念：2刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。（如图）3刚度矩阵的集成规则：*1先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。2关键是如何找出中的子块在[K]中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。3将单元刚度矩阵中的每个分块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。5.2.3两种平面问题*弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题平面应力问题*01厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。02以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：平面应变问题*一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的