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湖北省随州市2024届高三数学下学期5月模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设全集，集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次方程得集合B，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可.

【详解】因为，又，所以，

又，所以.

故选：B

2.设随机变量，且，则（）

A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25

【答案】D

【解析】

【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.

【详解】随机变量，显然，

而，所以.

故选：D

3.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意，构造函数利用已知条件判断出在上单调递减，结合，构造出从而求得解集.

【详解】设，即，

在上单调递减，又，

∴不等式,

即原不等式的解集为．

故选:B．

4.设，，则等于（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.

【详解】，，，

故，又，

.

故选：D.

5.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若，，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.

【详解】若，，，则与有可能平行，故A错误；

若，，则可能在内，故B错误；

若，，则，又，则，故C正确；

若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误.

故选：C.

6.在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（）

A.4 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由正弦定理可得圆的外接圆直径，从而可得，代入计算，即可得到结果.

【详解】由已知，所以圆的外接圆直径为，

因为，

所以，

所以，

因为，即，所以时，取到最小值．

故选：D．

7.已知双曲线的离心率为，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可.

【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，

故该双曲线的离心率为，解得.

故选：A.

8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（）

A.勒洛四面体最大截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面体表面上的任意两点，则PQ的最大值为

C.勒洛四面体的体积是

D.勒洛四面体内切球的半径是

【答案】D

【解析】

【分析】由勒洛四面体的定义可判断选项A；由由勒洛四面体的定义并作图求解判断B；根据对称性,由勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心求解判断C；结合C由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断D.

【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A错误；

将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：

连接，交于中点，交于中点，连接，易得,

则，

而，

所以，故B错误；

如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，

连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.

如图3,在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，

连接、、，由正四面体的性质可知在上.

因为,所以，则.

因为，

即，解得，

则正四面体外接球的体积是，

而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，故C错误；

因为，所以,

所以，勒洛四面体内切球半径是，故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（）

A.有最小值4 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式逐一判断即可.

【详解】A：因为正实数a，b满足，

所以，

当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；

B：因为正实数a，b满足，

所以，当且仅当时，取等号，

即有最大值，因此本选项不正确；

C：因为正实数a，b满足，

所以，

当且仅当时取等号，因此本选项正确；

D：因为正实数a，b满足，